已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2(a、b∈R).
(1)當a=0,b=-3時,求函數(shù)f(x)在[-1,3]上的最大值;
(2)若函數(shù)f(x)在x=1處有極值10,求f(x)的解析式;
(3)當a=-2時,若函數(shù)f(x)在[2,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),求b的取值范圍.
分析:(1)把a=0,b=-3代入原函數(shù),求出原函數(shù)的導函數(shù),由導函數(shù)的零點對定義域分段,通過列表分析導函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號,得到原函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的單調(diào)性,找出極值點,求出極值,求出閉區(qū)間的端點處的函數(shù)值,則函數(shù)f(x)在[-1,3]上的最大值可求;
(2)由函數(shù)f(x)在x=1處有極值10,則f(1)=0,f(1)=10,聯(lián)立后可求a,b的值,則函數(shù)解析式可求;
(3)把a=-2代入原函數(shù)解析式,然后求其導函數(shù),由函數(shù)f(x)在[2,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),得到f'(2)≥0,由此可求b的取值范圍.
解答:解:(1)當a=0,b=-3時,f(x)=x3-3x,
所以f′(x)=3x2-3,
令 f′(x)=0,解得 x1=-1,x2=1
列表:
x -1 (-1,1) 1 (1,3) 3
f′(x) 0 - 0 +
f(x) 極大值2 減函數(shù) 極小值-2 增函數(shù) 18
從上表可知,函數(shù)f(x)在[-1,3]上的最大值為18. 
(2)因為f(x)=x3+ax2+bx+a2,所以f'(x)=3x2+2ax+b,
由已知條件,得
f(1)=0
f(1)=10.
即 
2a+b+3=0
a2+a+b+1=10.

解得 
a=4
b=-11
a=-3
b=3.

下面分別檢驗:
①當a=4,b=-11時,f(x)=x3+4x2-11x+16,f′(x)=3x2+8x-11,
令f′(x)=0,即 3x2+8x-11=0,解得 x1=-
11
3
,x2=1,
列表:
x (-∞,-
11
3
)
-
11
3
(-
11
3
,1)
1 (1,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 極小值10 增函數(shù)
由上表可知,f(x)在x=1處取極小值10,符合題意.
②當a=-3,b=3時,f(x)=x3-3x2+3x+9,f′(x)=3x2-6x+3=3(x2-2x+1)=3(x-1)2≥0,f(x)為增函數(shù),不合題意,舍去.
所以當a=4,b=-11時,f(x)=x3+4x2-11x+16為所求函數(shù)的解析式.
綜上所述,所求函數(shù)的解析式為f(x)=x3+4x2-11x+16. 
(3)當a=-2時,f(x)=x3-2x2+bx+4,f'(x)=3x2-4x+b,
此導函數(shù)是二次函數(shù),二次項系數(shù)大于0,且對稱軸為x=
2
3
,
因為函數(shù)f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)≥0在[2,+∞)上恒成立,
也就是f'(2)≥0,
即 3×22-4×2+b≥0,解得b≥-4,
所以,b的取值范圍是[-4,+∞).
點評:本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)在某區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則函數(shù)的導函數(shù)在該區(qū)間上恒大于等于0或恒小于等于0,考查了函數(shù)解析式得求解及常用方法,利用了函數(shù)在極值點處的導數(shù)等于0,考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的最值,此題屬中檔題.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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