Question

在△ABC中，tan

c

2

=

1

2

，

AH

•

BC

=0，

AB

•(

CA

+

CB

)=0，H在BC邊上，則過(guò)點(diǎn)B以A、H為兩焦點(diǎn)的雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  5 +1

  2

• B、

  5

  -1
• C、

  5

  +1
• D、

  5 -1

  2

Answer 1

分析：由已知中在△ABC中，tan

c

2

=

1

2

，

AH

•

BC

=0，

AB

•(

CA

+

CB

)=0，H在BC邊上，我們根據(jù)向量垂直的數(shù)量積為0，及二倍角的正切公式，易得△ABC是一個(gè)頂角正切為

4

3

的等腰三角形，AH為腰上高，由此設(shè)出各邊的長(zhǎng)度，然后根據(jù)雙曲線的性質(zhì)及雙曲線離心率的定義，即可求出答案．

解答：解：由已知中

AH

•

BC

=0可得：AH為BC邊上的高
又由

AB

•(

CA

+

CB

)=0可得：CA=CB
又由tan

c

2

=

1

2

，可得tanC=

4

3

令A(yù)H=4X，則CH=3X，AC=BC=5X，BH=2X，AB=2

5

X
則過(guò)點(diǎn)B以A、H為兩焦點(diǎn)的雙曲線中
2a=2（

5

-1）x，2c=4x
則過(guò)點(diǎn)B以A、H為兩焦點(diǎn)的雙曲線的離心率e=

c

a

=

4X

2( 5 -1)X

=

5 +1

2

故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，其中根據(jù)已知求出滿足條件的△ABC的形狀進(jìn)而求出各邊長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．