Question

已知正數(shù)x，y滿(mǎn)足：x+y+3=xy，若對(duì)任意滿(mǎn)足條件的x，y：（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：先根據(jù)正數(shù)x，y滿(mǎn)足：x+y+3=xy，確定x+y∈[6，+∞），再換元，分離參數(shù)，利用基本不等式，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：由x+y+3=xy≤

(x+y)2

4

⇒(x+y)2-4(x+y)-12≥0，可得x+y∈[6，+∞）．
令t=x+y，則t²-at+1≥0在[6，+∞）恒成立，即a≤t+

1

t

在[6，+∞）恒成立，
又因f(t)=t+

1

t

在[6，+∞）單調(diào)遞增.⇒f(t)min=f(6)=

37

6

∴a≤

37

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查求實(shí)數(shù)a的取值范圍，考查基本不等式的運(yùn)用，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵．