Question

（理）y=sin³x+cos²x-sinx的最大值（　　）

• A、

  28

  27

• B、

  32

  27

• C、

  4

  3

• D、

  40

  27

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,三角函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：通過(guò)三角函數(shù)的平方關(guān)系式化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，利用換元法通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值即可．

解答： 解：y=sin³x+cos²x-sinx=sin³x+1-sin²x-sinx，令sinx=t∈[-1，1]，
∴y=t³-t²-t+1，
∴y′=3t²-2t-1，
令3t²-2t-1=0，
可得t=1或t=-

1

3

，
當(dāng)t∈[-1，-

1

3

]時(shí)，函數(shù)y是增函數(shù)，t∈[-

1

3

，1]時(shí)函數(shù)是減函數(shù)，
∴函數(shù)y的最大值為：(-

1

3

)3+1-(-

1

3

)2+

1

3

=

32

27

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值的求法，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．