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如圖,多面體EF-ABCD中,ABCD是梯形,AB∥CD,ACFE是矩形,面ACFE⊥面ABCD,AD=DC=CB=AE=a,∠ACB=
(1)若M是棱EF上一點,AM∥平面BDF,求EM;
(2)求二面角B-EF-D的平面角的余弦值.

【答案】分析:(1)連接BD,記AC∩BD=O,在梯形ABCD中,由題意得∠ACD=∠CAB=∠DAC,由角之間的關(guān)系可得∠DAC=,從而∠CBO=,又∠ACB=,CB=a,所以CO=,由AM∥平面BDF得AM∥FO.
(2)建立空間直角坐標系,利用向量的運算求出平面DEF的一個法向量為,平面BEF的一個法向量為,進而由兩個法向量求出二面角余弦值的大�。�
解答:解(1)連接BD,記AC∩BD=O,在梯形ABCD中,
因為AD=DC=CB=a,AB∥CD,
所以∠ACD=∠CAB=∠DAC,
π=∠ABC+∠BCD=∠DAB+∠ACD+ACB=3∠DAC+,∠DAC=,從而∠CBO=
又因為∠ACB=,CB=a,所以CO=,
連接FO,由AM∥平面BDF得AM∥FO,
因為ACFE是矩形,所以EM=CO=
(2)以C為原點,CA、CB、CF分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,
則C(0,0,0),,B(0,a,0),,F(xiàn)(0,0,a),,
設(shè)平面DEF的一個法向量為
則有,即
解得,
同理可得平面BEF的一個法向量為,
觀察知二面角B-EF-D的平面角為銳角,所以其余弦值為
點評:解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征,進而便于幾何體的線面關(guān)系以及建立坐標系利用向量解決空間角與空間距離的問題
練習冊系列答案
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π2

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闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻锝夊箣閿濆憛鎾绘煕閵堝懎顏柡灞诲€濆畷顐﹀Ψ閿旇姤鐦庡┑鐐差嚟婵敻鎳濇ィ鍐ㄧ厴闁瑰鍋涚粻鐘绘⒑缁嬪尅鏀绘い銊ユ楠炲牓濡歌閸嬫捇妫冨☉娆忔殘閻庤娲栧鍫曞箞閵娿儺娓婚悹鍥紦婢规洟姊绘担铏瑰笡濞撴碍顨婂畷鏉库槈濮樺彉绗夊┑鐐村灦鑿ゆ俊鎻掔墛缁绘盯宕卞Ο鍝勵潔濡炪倕绻掗崰鏍ь潖缂佹ɑ濯撮柤鎭掑劤閵嗗﹪姊洪棃鈺冪Ф缂佺姵鎹囬悰顔跨疀濞戞瑦娅㈤梺璺ㄥ櫐閹凤拷 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ょ紓宥咃躬瀵鎮㈤崗灏栨嫽闁诲酣娼ф竟濠偽i鍓х<闁绘劦鍓欑粈鍐┿亜閺囧棗娲ら悡姗€鏌熸潏楣冩闁稿鍔欓弻娑樷枎韫囷絾效闂佽鍠楅悷褏妲愰幘瀛樺闁告繂瀚烽埀顒€鐭傞弻娑㈠Ω閵壯冪厽閻庢鍠栭…閿嬩繆閹间礁鐓涢柛灞剧煯缁ㄤ粙姊绘担鍛靛綊寮甸鍌滅煓闁硅揪瀵岄弫鍌炴煥閻曞倹瀚�