Question

已知函數(shù).
(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值.
(2)若，求的最小值；
(3)在(Ⅱ)上求證：.

Answer 1

（Ⅰ）或.
（Ⅱ）函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增；
（Ⅲ）當 
。。

試題分析：（Ⅰ）的定義域為，，根據題意有，
所以解得或.          4分
（Ⅱ）
當時，因為，由得，解得，
由得，解得，
所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增；    8分
（Ⅲ）由（2）知，當a>0, 的最小值為
令  
當 
。     13分
點評：典型題，本題屬于導數(shù)應用中的基本問題，通過研究函數(shù)的單調性，明確了極值情況。通過研究函數(shù)的單調區(qū)間、最值情況，得到證明不等式。涉及對數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。