Question

12．已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)F（1，0），且與定直線l：x=-1相切．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
（2）直線l與C相交所得弦AB中點(diǎn)為（2，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$及$|{\overrightarrow{AB}}|$的值．

Answer 1

分析 （1）依題意，圓心的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)，l：x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，可得動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
（2）求出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，消去x得y²-2y-6=0，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，圓心的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)，l：x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
因?yàn)閽佄锞�焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于2，所以圓心的軌跡C的方程：y²=4x…（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$y_1^2=4{x_1}$①，$y_2^2=4{x_2}$②，
①-②得$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{4}{{{x_1}+{x_2}}}$，∴${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{4}{2}=2$，
由點(diǎn)斜式得y-1=2（x-2），即l：2x-y-3=0…（6分）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ 2x-y-3=0\end{array}\right.$，消去x得y²-2y-6=0，
由韋達(dá)定理知y₁+y₂=2，y₁•y₂=-6，
又${x_1}•{x_2}=\frac{{{{（{y_1}•{y_2}）}^2}}}{16}=\frac{36}{16}=\frac{9}{4}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{9}{4}-6=-\frac{15}{4}$…（9分）
$|{\overrightarrow{AB}}|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|{{y_1}-{y_2}}|=\sqrt{1+\frac{1}{4}}\sqrt{4+4×6}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}×\sqrt{28}=\sqrt{35}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義與方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．