已知函數(shù)f(x)＝x－sinx，數(shù)列{an}滿足：0＜a1＜1，an+1＝f(an)，n＝1，2，3，…．

求證：(1)0＜an+1＜an＜1；

(2)an＋1＜．

答案：
解析：

　　證明：(1)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0＜an＜1，n＝1，2，3，…．

　　①當(dāng)n＝1時(shí)，由已知知結(jié)論成立．

　　②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即0＜ak＜1．

　　因?yàn)?＜x＜1時(shí)，(x)＝1－cosx＞0，

　　所以f(x)在(0，1)上是增函數(shù)．

　　又f(x)在[0，1]上連續(xù)，從而f(0)＜f(ak)＜f(1)，

　　即0＜ak+1＜1－sin1＜1．

　　故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．

　　由①②可知，0＜an＜1對一切正整數(shù)都成立．

　　又因?yàn)?＜an＜1時(shí)，an+1－an＝an－sinan－an＝－sinan＜0，

　　所以an+1＜an．

　　綜上所述0＜an+1＜an＜1．

　　(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝sinx－x＋x3，0＜x＜1．

　　由(1)知，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，sinx＜x．

　　從而(x)＝cosx－1＋＝－2sin2＋＞－2()2＋＝0．

　　所以g(x)在(0，1)上是增函數(shù)．

　　又g(x)在[0，1]上連續(xù)，且g(0)＝0，

　　所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g(x)＞0成立．

　　于是g(an)＞0，即sinan－an＋an3＞0．

　　故an＋1＜an3．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.

(1)求實(shí)數(shù)m的值；

(2)作出函數(shù)f(x)的圖像；

(3)根據(jù)圖像指出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(4)根據(jù)圖像寫出不等式f(x)>0的解集；

(5)求當(dāng)x∈[1,5)時(shí)函數(shù)的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)與冪函數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練（河北） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝2loga(2x＋t)(t∈R)，其中x∈[0,15]，a＞0，且a≠1.
(1)若1是關(guān)于x的方程f(x)－g(x)＝0的一個(gè)解，求t的值；
(2)當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆江西省高二下學(xué)期第二次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.

(1)當(dāng)a＝0時(shí)，解不等式f(x)≥g(x)；

(2)若任意x∈R，f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆新課標(biāo)高三配套第四次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.

（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；

（3）當(dāng)a＝1時(shí)，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋3]上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)＝M(t)－m(t)，求函數(shù)g(t)在區(qū)間[－3，－1]上的最小值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年湖南省、岳陽縣一中高三11月聯(lián)考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分13分）(第一問8分，第二問5分)

已知函數(shù)f(x)＝2lnx，g(x)＝ax2＋3x.

（1）設(shè)直線x＝1與曲線y＝f(x)和y＝g(x)分別相交于點(diǎn)P、Q，且曲線y＝f(x)和y＝g(x)在點(diǎn)P、Q處的切線平行，若方程f(x2＋1)＋g(x)＝3x＋k有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)F(x)滿足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x2－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分別是函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)；試問是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈(0,1］時(shí)，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

 

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