Question

（本小題滿分14分）設，  ．
（1）當時，求曲線在處的切線方程；
（2）如果存在，使得成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)；
（3）如果對任意的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

21. （本題滿分14分）
（1）當時，，，，，
所以曲線在處的切線方程為；        4分
（2）存在，使得成立 
等價于：，
考察，，

		遞減	極（最）小值	遞增

   
由上表可知：，
                                                                ，
所以滿足條件的最大整數(shù)；                        9分
（3）當時，恒成立
等價于恒成立，
記，，  。
記，，由于，
,  所以在上遞減，
當時，，時，，
即函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，
所以，所以。                14分
（3）另解：對任意的，都有成立
等價于：在區(qū)間上，函數(shù)的最小值不小于的最大值，
由（2）知，在區(qū)間上，的最大值為。
，下證當時，在區(qū)間上，函數(shù)恒成立。
當且時，，
記，，  
當，；當，
，
所以函數(shù)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，
，即，    
所以當且時，成立，
即對任意，都有。              14分

略