[選做題]
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，PA是⊙O的切線，PB交AC于點E，交⊙O于點D，若PE=PA，
∠ABC=60°，PD=1，BD=8，求BC的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
二階矩陣M對應(yīng)的變換將點（1，-1）與（-2，1）分別變換成點（-1，-1）與（0，-2）．
（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣M-1；
（Ⅱ）設(shè)直線l在變換M作用下得到了直線m：2x-y=4，求l的方程．
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓ρ=3上的點到直線ρ(cosθ+
3
sinθ)=2的距離為d，求d的最大值．
D．（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a，b，c為正數(shù)且a+b+c=1，求證：(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2+(c+
1
c
)2≥
100
3
．
分析：A．由切割線定理，得到PA2=PD•BD，從而有AE=PA=3，再用弦切角得到∠PAE=∠ABC=60°，可得△PAE是邊長為3的等邊三角形．然后在在△ADE中利用余弦定理，算出得AD=
7
，最后利用△AED∽△BEC，由對應(yīng)邊成比例得到BC=2AD=2
7
．
B．（I）設(shè)M=
a
c
，利用矩陣乘法的法則，結(jié)合題意列出關(guān)于a、b、c、d的方程組并解之，可得矩陣M，再用二階矩陣逆矩陣的公式，可算出矩陣M的逆矩陣M-1；
（II）設(shè)l上的點（x，y）被M變換為m上的點（x'，y'），根據(jù)矩陣變換的公式找到用x、y表示x'、y'的式子，再將此對應(yīng)的點的坐標(biāo)代入直線m方程，化簡整理即得直線l的方程．
C．圓ρ=3化成普通方程：x2+y2=9，直線ρ(cosθ+
3
sinθ)=2的普通方程為x+
3
y-2=0．設(shè)圓上的點A（3cosα，3sinα），利用點到直線的距離公式結(jié)合正弦函數(shù)的最值，可算出圓上的點到直線距離的最大值．
D．將不等式左邊變形后，利用柯西不等式，再將a+b+c=1代入，將所得不等式再整理，即得要證明的不等式恒成立．
解答：A．解：∵PA是⊙O的切線，∴PA2=PD•BD，
∵PB=PD+BD=1+8=9，∴PA2=1×9=9，可得PA=3，AE=PA=3，
∵PA是⊙O的切線，∴∠PAE=∠ABC=60°，可得△PAE是邊長為3的等邊三角形
連接AD，在△ADE中，AE=3，DE=2，得AD=
AE2+DE2-2•AE•DEcos60°
=
7

又∵圓中△AED∽△BEC，
∴
AD
BC
=
AE
BE
=
1
2
，可得BC=2AD=2
7

B．解：（Ⅰ）設(shè)M=
a
c
，則有
a
c
 
1
-1
=
-1
-1
，
a
c
-2
1
=
0
-2
，
所以
a-b=-1
c-d=-1
，且
-2a+b=0
-2c+d=-2
，解得
a=1
b=2
c=3
d=4

所以M=
1
3
，從而M-1=
-2
3
2

（Ⅱ）因為
x′
y′
=
1
3
，所以
x′=x+2y
y=3x+4y

∵l在變換M作用下得到了直線m：2x'-y'=4，
∴代入得：2（x+2y）-（3x+4y）=4，化簡得x+4=0，
∴直線l的方程方程為x+4=0
C．解：將極坐標(biāo)方程ρ=3轉(zhuǎn)化為普通方程：x2+y2=9
直線ρ(cosθ+
3
sinθ)=2可化為x+
3
y-2=0
在x2+y2=9上任取一點A（3cosα，3sinα），則
點A到直線的距離為d=
|3cosα+3
3
sinα-2|
2
=
|6sin(α+
π
6
 )-2|
2
，
當(dāng)sin（α+
π
6
）=-1時，d的最大值為4．
D．證明：左邊=
1
3
(12+12+12)[(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2+(c+
1
c
)2]
≥
1
3
[1×(a+
1
a
)+1×(b+
1
b
)+1×(c+
1
c
)]2=
1
3
[1+(
1
a
+
1
b
+
1
c
)]2=
1
3
[1+(a+b+c)(
1
a
+
1
b
+
1
c
)]2
∵a+b+c=1，可得(a+b+c)(
1
a
+
1
b
+
1
c
) ≥(a•
1
a
+b•
1
b
+c•
1
c
)=9
∴原不等式的左邊≥
1
3
(1+9)2=
100
3
，即不等式(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2+(c+
1
c
)2≥
100
3
成立．
點評：本題以平面幾何證明、矩陣及矩陣變換、參數(shù)方程與極坐標(biāo)和不等式選講為載體，考查了同學(xué)們對數(shù)學(xué)選修知識的理解與掌握情況，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選做題
A．選修4-2矩陣與變換
已知矩陣A=
.
12
-14
.
，向量
a
=
.
7
4
.
．
（Ⅰ）求A的特征值λ1、λ2和特征向量α1、α2；   （Ⅱ）計算A6α的值．
B．選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線l的參數(shù)方程為
x=4-2t
y=t-2
（t為參數(shù)），P是橢圓
x2
4
+y2=1上任意一點，求點P到直線l的距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

附加題選做題B、（選修4-2：矩陣與變換）
已知在一個二階矩陣M對應(yīng)變換的作用下，點A（1，2）變成了點A′（7，10），點B（2，0）變成了點B′（2，4），求矩陣M的逆矩陣M-1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）選做題
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，自⊙O外一點P作⊙O的切線PC和割線PBA，點C為切點，割線PBA交⊙O于A，B兩點，點O在AB上．作CD⊥AB，垂足為點D．
求證：
PC
PA
=
BD
DC
．
B．選修4-2：矩陣與變換
設(shè)a，b∈R，若矩陣A=
a0
-1b
把直線l：y=2x-4變換為直線l′：y=x-12，求a，b的值．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
求橢圓C：
x2
16
+
y2
9
=1上的點P到直線l：3x+4y+18=0的距離的最小值．
D．選修4-5不等式選講
已知非負(fù)實數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2+x+2y+3z=
13
4
，求x+y+z的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江蘇省揚州市江都中學(xué)高三第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

[選做題]
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，PA是⊙O的切線，PB交AC于點E，交⊙O于點D，若PE=PA，
∠ABC=60°，PD=1，BD=8，求BC的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
二階矩陣M對應(yīng)的變換將點（1，-1）與（-2，1）分別變換成點（-1，-1）與（0，-2）．
（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣M-1；
（Ⅱ）設(shè)直線l在變換M作用下得到了直線m：2x-y=4，求l的方程．
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓ρ=3上的點到直線的距離為d，求d的最大值．
D．（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a，b，c為正數(shù)且a+b+c=1，求證：．

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