Question

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是正方形，AF⊥平面ABCD，DE∥AF，AB=DE=2
（1）求證：BE⊥AC；
（2）點(diǎn)N在棱BE上，當(dāng)BN的長(zhǎng)度為多少時(shí)，直線CN與平面ADE成30°角？

Answer 1

分析：（1）連接BD，ABCD是正方形，AC⊥BD．得出BD是斜線EB在平面ABCD內(nèi)的射影，由三垂線定理得到BE⊥AC．
（2）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DE為x，y，z建立空間直角坐標(biāo)系，求出各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面AED的法向量，代入向量夾角公式，即可得到直線CN與平面ADE所成角的大小；

解答：證明：（1）連接BD，
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．
又ED⊥底面ABCD，
∴BD是斜線EB在平面ABCD內(nèi)的射影．
∴BE⊥AC．
（2）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DE為x，y，z建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（2，0，0）、B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2）
設(shè)N（x，y，z），且

BN

=λ

BE

（0≤λ≤1）
則N（2-2λ，2-2λ，2λ），∴

CN

=(2-2λ，-2λ，2λ)
平面ADE的法向量為

n

=(0，1，0)
則cos＜

n

，

CN

＞=

2λ

(2-2λ)2+(2λ)2+(2λ)2

=

1

2

，
解得λ=

2

-1
又BE=2

3

，∴BN=λBE=(

2

-1)•2

3

=2

6

-2

3

即當(dāng)BN=2

6

-2

3

時(shí)，直線CN與平面ADE成30°角

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的性質(zhì)及用空間向量求直線與平面的夾角及求法，在使用向量法求求直線與平面的夾角的大小時(shí)，建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量是關(guān)鍵．