Question

已知

a

=（1，2cosx），

b

=（sin（π-2x），

3

cosx），x∈R，且f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求f（

π

6

）；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）運(yùn)用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和三角恒等變換公式，即可得到f（x）=2sin（2x+

π

3

）+

3

求出函數(shù)值f（

π

6

）；
（Ⅱ）運(yùn)用周期公式和正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

=1×sin(π-2x)+2cosx×

3

cosx
∴f（x）=sin2x+2

3

cos²x=sin2x+

3

cos2x+

3

=2sin（2x+

π

3

）+

3

∴f（

π

6

）=2sin（

π

3

+

π

3

）+

3

=2×

3

2

+

3

=2

3

；
（Ⅱ）f（x）=2sin（2x+

π

3

）+

3

的最小正周期T=

2π

2

=π．
又由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）
可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，和三角函數(shù)的周期和單調(diào)性及運(yùn)用，同時(shí)考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．