Question

在數(shù)列{a_n}中，若a₁，a₂是正整數(shù)，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5，…，則稱{a_n}為“絕對(duì)差數(shù)列”．
（1）舉出一個(gè)前五項(xiàng)不為零的“絕對(duì)差數(shù)列”（只要求寫出前十項(xiàng)）；
（2）證明：任何“絕對(duì)差數(shù)列”中總含有無窮多個(gè)為零的項(xiàng)．

Answer 1

（1）解：（答案不唯一）a₁=3，a₂=1，a₃=2，a₄=1，a₅=1，a₆=0，a₇=1，a₈=1，a₉=0，a₁₀=1．
（2）證明：根據(jù)定義，數(shù)列{a_n }必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)0項(xiàng)，證明如下：
假設(shè){a_n }中沒有0項(xiàng)，由于a_n=|a_n-1-a_n-2|，所以對(duì)于的n，都有a_n≥1，從而
當(dāng)a_n-1＞a_n-2時(shí)，a_n=a_n-1-a_n-2≤a_n-1-1（n≥3）
當(dāng)a_n-1＜a_n-2時(shí)，a_n=a_n-2-a_n-1≤a_n-2-1（n≥3）
即a_n的值要么比a_n-1至少小1，要么比a_n-2至少小1．
令，n=1，2，3，…，
則0＜c_n≤c_n-1-1（n=2，3，4，…），由于c₁是確定的正整數(shù)，
這樣減下去，必然存在某項(xiàng)c₁＜0，
這與c_n＞0（n=1，2，3，4，…）矛盾，
從而{a_n }必有0項(xiàng)．
若第一次出現(xiàn)的0項(xiàng)為第n項(xiàng)，
記a_n-1=A（A≠0），則自第n項(xiàng)開始，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值0，A，A，
即k=0，1，2，3，…．
所以“絕對(duì)差數(shù)列”中總含有無窮多個(gè)為零的項(xiàng)．
分析：（1）a₁=3，a₂=1，a₃=2，a₄=1，a₅=1，a₆=0，a₇=1，a₈=1，a₉=0，a₁₀=1．（答案不唯一）
（2）根據(jù)定義，數(shù)列{a_n }必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)0項(xiàng)．證明：假設(shè){a_n }中沒有0項(xiàng)，由a_n=|a_n-1-a_n-2|，知a_n的值要么比a_n-1至少小1，要么比a_n-2至少小1．令，由于c₁是確定的正整數(shù)，這樣減下去，必然存在某項(xiàng)c₁＜0，這與c_n＞0（n=1，2，3，4，…）矛盾，由此可知“絕對(duì)差數(shù)列”中總含有無窮多個(gè)為零的項(xiàng)．
點(diǎn)評(píng)：本題首先考查數(shù)列的基本量、通項(xiàng)，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．