Question

若定義在實數集R上的偶函數f（x）滿足f（x）＞0，f（x+2）=

1

f(x)

，對任意x∈R恒成立，則f（2015）=（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：由f（x）＞0，f（x+2）=

1

f(x)

，對可得函數的周期是4，然后利用函數的奇偶性和周期性即可求值．

解答： 解：∵f（x）＞0，f（x+2）=

1

f(x)

，
∴f（x+4）=

1

f(x+2)

=f（x），
∴函數f（x）的周期是4．
∴f（2015）=f（504×4-1）=f（-1），
∵函數f（x）為偶函數，
∴f（-1）=f（1），
當x=-1時，f（-1+2）=f（1）=

1

f(-1)

=

1

f(1)

，
∴f²（1）=1，即f（1）=1，
∴f（2015）=f（1）=1．
故選：D．

點評：本題主要考查函數值的計算，利用條件求出函數的周期性，利用函數的周期性和奇偶性的性質是解決本題的關鍵，綜合考查了函數性質的綜合應用．