如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2，AD=3，CD=1，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且AE=AD，BF=BC．現(xiàn)將此梯形沿EF折至使AD=的位置（如圖2）．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直線CE與平面BCF所成角的正弦值．
【答案】分析：（I）欲證AE⊥平面ABCD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AE與平面ABCD內(nèi)兩相交直線垂直，而EA⊥AD，EA⊥AB，AB∩AD=A，滿足定理?xiàng)l件；
（II）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后先求出平面BCF的法向量，記直線CE與平面BCF所成的角為α，利用公式求出直線CE與平面BCF所成角的正弦值．
解答：解：（Ⅰ）證明：由題意：，
∴∠EAD=90°，即EA⊥AD，（2分）
又EA⊥AB，AB∩AD=A，∴AE⊥平面ABCD．（4分）
（Ⅱ）解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，，（6分）
設(shè)平面BCF的法向量，
由得．（9分）
記直線CE與平面BCF所成的角為α，
則．
所以，直線CE與平面BCF所成角的正弦值為．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及直線與平面所成的角等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M為線段AB的中點(diǎn)．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A-CD-M的余弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•肇慶二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，AE⊥BD．將△ABD沿對(duì)角線BD折起（圖2），記折起后點(diǎn)A的位置為P且使平面PBD⊥平面BCD．
（1）求三棱錐P-BCD的體積；
（2）求平面PBC與平面PCD所成二面角的平面角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•海淀區(qū)二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4．把△DAC沿對(duì)角線AC折起到△PAC的位置，如圖2所示，使得點(diǎn)P在平面ABC上的正投影H恰好落在線段AC上，連接PB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段PA，PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面EFH∥平面PBC；
（Ⅱ）求直線HE與平面PHB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在一點(diǎn)M，使得M到P，H，A，F(xiàn)四點(diǎn)的距離相等？請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•韶關(guān)二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=
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AB=2，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．
（1）求證：DA⊥BC；
（2）在CD上找一點(diǎn)F，使AD∥平面EFB；
（3）求點(diǎn)A到平面BCD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，CD=6，AD=3，E為CD上一點(diǎn)，且DE=4，過(guò)E作EF∥AD交BC于F現(xiàn)將△CEF沿EF折起到△PEF，使∠PED=60°，如圖2．
（Ⅰ）求證：PE⊥平面ADP；
（Ⅱ）求異面直線BD與PF所成角的余弦值；
（Ⅲ）在線段PF上是否存在一點(diǎn)M，使DM與平在ADP所成的角為30°？若存在，確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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