Question

已知函數(shù)f（x）=+ax²+bx，a，b∈R
（1）曲線C：y=f（x）經(jīng)過點P（1，2），且曲線C在點P處的切線平行于直線y=2x+1，求a，b的值；
（2）在（1）的條件下試求函數(shù)g（x）=m[f（x）-x]（m∈R，m≠0）的極小值．

Answer 1

解：（1）由f（x）=+ax²+bx，得：f^′（x）=x²+2ax+b，
因為y=f（x）經(jīng)過點P（1，2），且曲線C在點P處的切線平行于直線y=2x+1，
所以，，解得：．
所以a=，b=．
（Ⅱ）由（1）知，
則g（x）=
=．
，
當m＞0時，g^′（x）在（-∞，0），（，+∞）上大于0，在（0，）上小于0，
所以，g（x）在（-∞，0），（，+∞）上遞增，在（0，）上遞減，
所以g（x）的極小值為g（）==；
當m＜0時，g^′（x）在（-∞，0），（，+∞）上小于0，在（0，）上大于0，
g（x）在（-∞，0），（，+∞）上遞減，在（0，）上遞增，
所以g（x）的極小值為g（0）=0．
分析：（1）y=f（x）經(jīng)過點P（1，2），則點P的坐標適合函數(shù)解析式，再根據(jù)曲線C在點P處的切線平行于直線y=2x+1，可知f^′（1）=2，聯(lián)立后可求解a，b的值；
（2）把（1）中求得的a，b代入函數(shù)解析式，再把f（x）代入g（x）后求導函數(shù)，分類討論m后，根據(jù)導函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號判斷單調(diào)性，從而求出函數(shù)的極小值．
點評：本題主要考查函數(shù)、導數(shù)知識及其應用，考查運算求解能力及抽象概括能力，考查函數(shù)與方程、分類與整合、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法，此題是中檔題．