Question

已知函數(shù)f（x）=（x≥0）．
（1）若f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若對任意非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，c，以f（a），f（b），f（c）為三邊都可構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵x²+x+1＞0恒成立，∴f（x）＞0恒成立等價(jià)于x²+kx+1＞0（x≥0）恒成立
x=0時(shí)，結(jié)論成立；x＞0時(shí)，-k＜x+，∵x＞0，∴x+≥2
∴-k＜2
∴k＞-2
（2）f（x）=
由（1）知：k＞-2
1°、當(dāng)k=1時(shí)，滿足題意；
2°、當(dāng)k＞1時(shí)，，由題意知：，∴1＜k＜4
3°、當(dāng)k＜1時(shí)，，于是有，∴1＞
綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為．
分析：（1）f（x）＞0恒成立等價(jià)于x²+kx+1＞0（x≥0）恒成立．x=0時(shí)，結(jié)論成立；x＞0時(shí)，分離參數(shù)-k＜x+，利用基本不等式，即可確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）f（x）=，由（1）知：k＞-2，再進(jìn)行分類討論，利用以f（a），f（b），f（c）為三邊都可構(gòu)成三角形，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是正確分類，屬于中檔題．