Question

定義

a

?

b

=|

a

|•|

b

|sinθ（θ為

a

與

b

的夾角），給出下列命題．
①

a

?

b

=

b

?

a

；                  
②λ（

a

?

b

）=（λ

a

）?

b

；
③

a

?（

b

+

c

）=

a

?

b

+

a

?

c

；       
④

a

⊥

b

?

a

?

b

=|

a

|•|

b

|；
⑤設(shè)

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂），則

a

?

b

=|x₁y₂-x₂y₁|
其中正確的序號為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：①由

a

?

b

=|

a

|•|

b

|sinθ=

b

?

a

，即可判斷出；
②λ＜0不成立；
③取

a

=（1，0），

b

=（0，1），

c

=（0，-1），即可判斷出；
④

a

⊥

b

?θ=

π

2

?

a

?

b

=|

a

|•|

b

|；
⑤設(shè)

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂），利用數(shù)量積運(yùn)算可得

a

•

b

=x₁x₂+y₁y₂.(

a

?

b

)2=

a

2×

b

2×sin2θ=

a

2×

b

2（1-cos²θ）=

a

2×

b

2-(

a

•

b

)2=(x1y2-x2y1)2，即可得出．

解答： 解：①由

a

?

b

=|

a

|•|

b

|sinθ=

b

?

a

，可知正確；
②λ（

a

?

b

）=（λ

a

）?

b

，λ＜0不成立；
③取

a

=（1，0），

b

=（0，1），

c

=（0，-1），則

a

?（

b

+

c

）=0，

a

?

b

+

a

?

c

=1+1=2，

a

?（

b

+

c

）≠

a

?

b

+

a

?

c

，不正確；
④

a

⊥

b

?θ=

π

2

?

a

?

b

=|

a

|•|

b

|，正確；
⑤設(shè)

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂），
∴

a

•

b

=x₁x₂+y₁y₂．
(

a

?

b

)2=

a

2×

b

2×sin2θ=

a

2×

b

2（1-cos²θ）=

a

2×

b

2-(

a

•

b

)2
=(x12+

y

2 1

)(

x

2 2

+

y

2 2

)-(x1x2+y1y2)2
=(x1y2-x2y1)2，
∴

a

?

b

=|x₁y₂-x₂y₁|，正確．
綜上可知：只有①④⑤正確．
故答案為：①④⑤．

點(diǎn)評：本題考查了新定義、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量的夾角，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．