【題目】已知函數.
(1)設函數,求函數的極值;
(2)若在上存在一點,使得成立,求的取值范圍.
【答案】(1)當時,極大值為,無極小值;當時,無極值;(2)或.
【解析】
(1)求出,對分類討論求出單調區(qū)間,即可求出結論;
(2)在上存在一點,使得成立,即為,只需,結合(1)中的結論對分類討論求出,即可求解.
(1)依題意,定義域為,
∴,
①當,即時,
令,∵,∴,
此時,在區(qū)間上單調遞增,
令,得.
此時,在區(qū)間上單調遞減.
②當,即時,恒成立,
在區(qū)間上單調遞減.
綜上,當時,
在處取得極大值,無極小值;
當時,在區(qū)間上無極值.
(2)依題意知,在上存在一點,使得成立,
即在上存在一點,使得,
故函數在上,有.
由(1)可知,①當,
即時,在上單調遞增,
∴,∴,
∵,∴.
②當,或,
即時,在上單調遞減,
∴,∴.
③當,即時,
由(2)可知,在處取得極大值也是區(qū)間上的最大值,
即,
∵,∴在上恒成立,
此時不存在使成立.
綜上可得,所求的取值范圍是或.
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【題目】某企業(yè)質量檢驗員為了檢測生產線上零件的質量情況,從生產線上隨機抽取了個零件進行測量,根據所測量的零件尺寸(單位:mm),得到如下的頻率分布直方圖:
(1)根據頻率分布直方圖,求這個零件尺寸的中位數(結果精確到);
(2)若從這個零件中尺寸位于之外的零件中隨機抽取個,設表示尺寸在上的零件個數,求的分布列及數學期望;
(3)已知尺寸在上的零件為一等品,否則為二等品,將這個零件尺寸的樣本頻率視為概率. 現對生產線上生產的零件進行成箱包裝出售,每箱個. 企業(yè)在交付買家之前需要決策是否對每箱的所有零件進行檢驗,已知每個零件的檢驗費用為元. 若檢驗,則將檢驗出的二等品更換為一等品;若不檢驗,如果有二等品進入買家手中,企業(yè)要向買家對每個二等品支付元的賠償費用. 現對一箱零件隨機抽檢了個,結果有個二等品,以整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值作為決策依據,該企業(yè)是否對該箱余下的所有零件進行檢驗?請說明理由.
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【題目】某工廠生產一種產品的標準長度為,只要誤差的絕對值不超過就認為合格,工廠質檢部抽檢了某批次產品1000件,檢測其長度,繪制條形統(tǒng)計圖如圖:
(1)估計該批次產品長度誤差絕對值的數學期望;
(2)如果視該批次產品樣本的頻率為總體的概率,要求從工廠生產的產品中隨機抽取2件,假設其中至少有1件是標準長度產品的概率不小于0.8時,該設備符合生產要求.現有設備是否符合此要求?若不符合此要求,求出符合要求時,生產一件產品為標準長度的概率的最小值.
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【題目】已知的展開式中第5項與第7項的二項數系數相等,且展開式的各項系數之和為1024,則下列說法正確的是( )
A.展開式中奇數項的二項式系數和為256
B.展開式中第6項的系數最大
C.展開式中存在常數項
D.展開式中含項的系數為45
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【題目】近年來,我國許多省市霧霾天氣頻發(fā),為增強市民的環(huán)境保護意識,某市面向全市征召名義務宣傳志愿者,成立環(huán)境保護宣傳組織,現把該組織的成員按年齡分成組第組,第組,第組,第組,第組,得到的頻率分布直方圖如圖所示,已知第組有人.
(1)求該組織的人數;
(2)若在第組中用分層抽樣的方法抽取名志愿者參加某社區(qū)的宣傳活動,應從第組各抽取多少名志愿者?
(3)在(2)的條件下,該組織決定在這名志愿者中隨機抽取名志愿者介紹宣傳經驗,求第組至少有名志愿者被抽中的概率.
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【題目】(本題滿分12分)已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標軸,與有兩個交點,,線段的中點為.
(Ⅰ)證明:直線的斜率與的斜率的乘積為定值;
(Ⅱ)若過點,延長線段與交于點,四邊形能否為平行四邊形?若能,求此時的斜率,若不能,說明理由.
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)已知點是曲線上的動點,求點到曲線的最小距離.
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【題目】已知拋物線:(),圓:(),拋物線上的點到其準線的距離的最小值為.
(1)求拋物線的方程及其準線方程;
(2)如圖,點是拋物線在第一象限內一點,過點P作圓的兩條切線分別交拋物線于點A,B(A,B異于點P),問是否存在圓使AB恰為其切線?若存在,求出r的值;若不存在,說明理由.
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