Question

已知函數(shù)f（x）=|a-

1

x

|，a＞0，b＞0，x≠0，且滿足：函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=1有且只有一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＜4^x-1的解集為（

1

2

，+∞），求實(shí)數(shù)b的值；
（3）在（2）成立的條件下，是否存在m，n∈R，m＜n，使得f（x）的定義域和值域均為[m，n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）依題意，a-

b

x

=-1時(shí)方程必有一根

b

a+1

，而a-

b

x

=1無解，從而可求得a；
（2）由f(x)=|1-

b

x

|與y=4^x-1的圖象知兩圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為

1

2

，從而可求得b；
（3）f(x)=|1-

1

x

|≥0，故必須滿足n＞m＞0，f（1）=0，值域[m，n]中不包括0，定義域[m，n]中不包括1，只需討論：當(dāng)0＜m＜n＜1與1＜m＜n時(shí)，由f（x）在[m，n]上的單調(diào)性即可求得答案．

解答： 解：（1）a-

b

x

=1或a=1，因?yàn)閍＞0，b＞0，所以a-

b

x

=-1時(shí)方程必有一根

b

a+1

，
因此a-

b

x

=1無解，a=1（或通過說明圖象平移直接得到）；           …（4分）
（2）由f(x)=|1-

b

x

|與y=4^x-1的圖象知兩圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為

1

2

，
代入y=4^x-1，知道交點(diǎn)為(

1

2

，1)，
代入f(x)=|1-

b

x

|知b=1．…（9分）
（3）f(x)=|1-

1

x

|，因?yàn)閒（x）≥0，所以必須滿足n＞m＞0
又f（1）=0，值域[m，n]中不包括0，所以定義域[m，n]中不包括1，只需討論：
當(dāng)0＜m＜n＜1時(shí)，f(x)=

1

x

-1，在[m，n]上遞減，

1

m

-1=n，

1

n

-1=m，
作差得

1

m

-

1

n

=n-m，mn=1，不成立；
當(dāng)1＜m＜n時(shí)，f(x)=1-

1

x

，在[m，n]上遞增，1-

1

m

=m，1-

1

n

=n，
作差得

1

n

-

1

m

=m-n，mn=1，不成立．
綜上：不存在m，n∈R，m＜n滿足題意．                                 …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶絕對(duì)值的函數(shù)，著重考查數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的綜合運(yùn)用，考查創(chuàng)新能力與抽象思維能力，屬于難題．