Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)u=8x-x²，則． 由u=8x-x²≥0解得 0≤x≤8，故函數(shù)的定義域?yàn)閇0，8]．
由于二次函數(shù)u=8x-x² =-（x-4）²+16的對(duì)稱軸為 x=4，
當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，u是x的增函數(shù)，故y是增函數(shù)． 當(dāng)x∈[4，8]時(shí)，u是x的減函數(shù)，故y是減函數(shù)．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，4]，單調(diào)遞減區(qū)間是[4，8]．
（Ⅱ）由8x-x²=0 求得 x=0，或x=8，所以，當(dāng)x=0，或x=8時(shí)，f_min（x）=0；
當(dāng)x=4時(shí)，u_max=16，這時(shí)．
分析：（Ⅰ）設(shè)u=8x-x²，則，先求出u的定義域，再求出u的單調(diào)區(qū)間，即可求得函數(shù)y的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）先求出函數(shù)的定義域，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)u的值域，即可求得的值域．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法，求復(fù)合函數(shù)的值域，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和換元的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．