Question

如圖，在y軸的正半軸上依次有點(diǎn)A₁，A₂，…，A_n，…其中點(diǎn)A₁（0，1），A₂（0，10），且|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|（n=2，3，4，…），在射線y=x（x≥0）上依次有點(diǎn)B₁，B₂，…，B_n，…點(diǎn)B₁的坐標(biāo)為（3，3），且|OBn|=|OBn-1|+2

2

（n=2，3，4，…）
（1）用含n的式子表示|A_nA_n+1|；
（2）用含n的式子表示A_n，B_n的坐標(biāo)；
（3）求四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|是一個等比關(guān)系，故有公式求其通項即可；
（2）由題意（1）中數(shù)列的前n項和即為A_n的縱坐標(biāo)，由|OBn|=|OBn-1|+2

2

（n=2，3，4，…）知{|OB_n|}是以3

2

為首項，2

2

為公差的等差數(shù)列，故可求得|OB_n|的值，再由
在射線y=x（x≥0）上依次有點(diǎn)B₁，B₂，…，B_n，…即可得出B_n的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n的幾何特征，把四邊形的面積分成兩個三角形的面積來求，求出面積的表達(dá)式，再作差Sn+1-Sn=

3-6n

3n-1

＜0，確定其單調(diào)性，然后求出最大值．

解答：解：（1）∵

|AnAn+1|

|An-1An|

=

1

3

，且|A1A2|=10-1=9，∴|AnAn+1|=|A1A2|(

1

3

)n-1=9(

1

3

)n-1=(

1

3

)n-3
（2）由（1）得|A1A2|+|A2A3|+…+|An-1An|=9+3+1+…+(

1

3

)n-4=

27

2

-

1

2

(

1

3

)n-4
∴點(diǎn)A_n的坐標(biāo)(0，

29

2

-

1

2

(

1

3

)n-4)，∵|OBn|-|OBn-1|=2

2

且|OB1|=3

2

∵{|OB_n|}是以3

2

為首項，2

2

為公差的等差數(shù)列
∴|OBn|=3

2

+(n-1)2

2

=(2n+1)

2

∴B_n的坐標(biāo)為（2n+1，2n+1）
（3）連接A_nB_n+1，設(shè)四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n的面積為S_n，則Sn=S△AnAn+1Bn+1+S△BnBn+1An=

1

2

[(

1

3

)n-3]•(2n+3)+

1

2

•2

2

•[

29

2

-

27

2

(

1

3

)n-1]

2

2

=

29

2

+

9n

3n-1

，
∴Sn+1-Sn=

3-6n

3n-1

＜0，即S_n+1＜S_n，
∴{S_n}單調(diào)遞減．∴S_n的最大值為S1=

29

2

+9=

47

2

．

點(diǎn)評：本題是一個數(shù)列應(yīng)用題，也是等差等比數(shù)列的一個綜合題，本題有著一個幾何背景，需要做正確的轉(zhuǎn)化和歸納，才能探究出正確的解決方法．本題是個難題，比較抽象．