(2006江西,21)如圖所示,橢圓(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0),過(guò)點(diǎn)F的一動(dòng)直線(xiàn)m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng),并且交橢圓于A、B兩點(diǎn),P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)P的軌跡H的方程;
(2)若在Q的方程中,令,
.確定θ的值,使原點(diǎn)距橢圓Q的右準(zhǔn)線(xiàn)l最遠(yuǎn).此時(shí),設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D,當(dāng)直線(xiàn)m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置時(shí),△ABD的面積最大?
解析:(1)設(shè)橢圓 則 (i)當(dāng)AB不垂直x軸時(shí), 由①-②得
∴ ∴ (ii)當(dāng)AB垂直于x軸時(shí),點(diǎn)P即為點(diǎn)F,滿(mǎn)足方程(*), 故所求點(diǎn)P的軌跡H的方程為 (2)因?yàn)闄E圓Q右準(zhǔn)線(xiàn)l方程是 則 當(dāng) 設(shè)橢圓 △ABD面積 設(shè)直線(xiàn)m的方程為x=ky+1,代入 得 由韋達(dá)定理得
令 因此,當(dāng)直線(xiàn)m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)到垂直x軸位置時(shí),三角形ABD的面積最大. |
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