Question

已知雙曲線方程為2x²-y²=2 ． 

(1) 過定點P(2 ，1) 作直線交雙曲線于P₁，P₂兩點，當點P(2 ，1) 是弦P₁P₂ 的中點時，求此直線方程．    
(2) 過定點Q(1 ，1) 能否作直線l ，使l 與此雙曲線相交于Q₁，Q₂兩點，且Q 是弦Q₁Q₂的中點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：設y=kx-2k+1．
由消y并化簡，得（2-k²）x²+2k（2k-1）x-4k²+4k-3=0．  
設直線與雙曲線的交點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
當2-k²≠0即k²≠2時，
有
又點P(2，1)是弦P₁P₂的中點，
，解得k=4．    
當 k=4時
Δ=4k² (2k-1)²-4(2-k²) (-4k²+4k-3)=56×5>0,
當k²=2即時，
與漸近線的斜率相等，
即的直線l與雙曲線不可能有兩個交點，  
綜上所述，所求直線方程為y=4x-7．  
(2)假設這樣的直線l存在，設Q₁（x₁，y₁），Q2（x₂，y₂），
則有
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
且兩式相減，得
∴2(x₁-x₂)(x₁+x₂)-(y₁-y₂) (y₁+y₂)=0,
∴2(x₁-x₂)-（y₁-y₂)=0.
若直線Q₁Q₂⊥QX，則線段Q₁Q₂的中點不可能是點Q(1，1)，
所以直線Q₁Q₂有斜率，于是
∴直線Q₁Q₂的方程為y-1=2（x-1），即y=2x-1．
由得2x²-（2x-1）²=2，    即2x²-4x+3 =0，    
∴Δ=16-24 <0．
這就是說，直線l與雙曲線沒有公共點，因此這樣的直線不存在．