Question

已知函數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線垂直于直線y=x+2，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）直線y=x+2的斜率為1．
函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)為，
則f′（1）=-+，所以a=1．（5分）
（Ⅱ）f′（x）=（ax-2）/x²，x∈（0，+∞）．
①當(dāng)a=0時(shí)，在區(qū)間（0，e]上f′（x）=-2/x²，此時(shí)f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減，
則f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為F（e）=．
②當(dāng)＜0，即a＜0時(shí)，在區(qū)間（0，e]上f′（x）＜0，此時(shí)f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減，
則f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為f（e）=+a．
③當(dāng)0＜＜e，即a＞時(shí)，
在區(qū)間上f′（x）＜0，此時(shí)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減；
在區(qū)間上f′（x）＞0，此時(shí)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增；
則f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為f（）=a+aln2．
④當(dāng)，即時(shí)，
在區(qū)間（0，e]上f′（x）≤0，此時(shí)f（x）在區(qū)間（0，e]上為單調(diào)遞減，
則f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為f（e）=+a．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為+a；
當(dāng)a＞時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為a+aln．
分析：（Ⅰ）先求出直線的斜率，因?yàn)榍�線的切線垂直與直線，所以曲線的切線在該點(diǎn)的斜率與直線的斜率乘積為-1，即曲線在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與直線的斜率乘積為-1．
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，再討論a的范圍，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值
點(diǎn)評(píng)：該題考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及直線垂直的位置關(guān)系，要注意討論a的取值范圍，屬于中等題，不算很難