Question

已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足下列條件：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂都有λ（x₁-x₂）²≤（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]和|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，其中λ是大于0的常數(shù)，設(shè)實(shí)數(shù)a，a，b滿足f（a）=0和b=a-λf（a）
（Ⅰ）證明λ≤1，并且不存在b≠a，使得f（b）=0；
（Ⅱ）證明（b-a）²≤（1-λ²）（a-a）²；

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證明λ≤1，并且不存在b≠a，使得f（b）=0，由已知條件λ（x₁-x₂）²≤（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]和|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|合并，可以直接得出λ≤1，再假設(shè)有b≠a，使得f（b）=0，根據(jù)已知判斷出矛盾即得到不存在b≠a，使得f（b）=0．
（Ⅱ）要證明（b-a）²≤（1-λ²）（a-a）²；把不等式兩邊（b-a）²和（1-λ²）（a-a）²分別用題中的已知等式化為同一的函數(shù)值得形式，再證明不等式成立即可．
解答：證明：（I）任取x₁，x₂?R，x₁≠x₂，則由λ（x₁-x₂）²≤（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]①
和|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|②
可知λ（x₁-x₂）²≤（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]≤|x₁-x₂|•|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|²，
從而λ≤1．
假設(shè)有b≠a，使得f（b）=0，則由①式知0＜λ（a-b）²≤（a-b）[f（a）-f（b）]=0矛盾．
∴不存在b≠a，使得f（b）=0．
（II）由b=a-λf（a）③
可知（b-a）²=[a-a-λf（a）]²=（a-a）²-2λ（a-a）f（a）+λ²[f（a）]²④
由f（a）=0和①式，得（a-a）f（a）=（a-a）[f（a）-f（a）]≥λ（a-a）²⑤
由和②式知，[f（a）]²=[f（a）-f（a）]²≤（a-a）²⑥
由⑤、⑥代入④式，得（b-a）²≤（a-a）²-2λ²（a-a）²+λ²（a-a）²=（1-λ²）（a-a）²
即不等式（b-a）²≤（1-λ²）（a-a）²得證．
點(diǎn)評(píng)：題目中涉及了八個(gè)不同的字母參數(shù)a，b，a，b，x，x₁，x₂，λ以及它們的抽象函數(shù)值f（x）．參數(shù)量太多，讓考生們?cè)诙虝r(shí)間內(nèi)難以理清頭緒．因而解決問(wèn)題的關(guān)鍵就在于“消元”--把題設(shè)條件及欲證關(guān)系中的多個(gè)參數(shù)量轉(zhuǎn)化為某幾個(gè)特定變量來(lái)表示，有一定的計(jì)算量需要同學(xué)們注意．