考點:點、線、面間的距離計算,二面角的平面角及求法
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理,證明CE⊥面D1DE即可證明:D1E⊥CE;
(2)建立坐標(biāo)系,利用向量法即可求二面角D1-EC-D的大小的余弦值;
(3)根據(jù)點到平面的距離公式,即可求A點到平面CD1E的距離.
解答:
解:(1)證明:DD
1⊥面ABCD,CE?面ABCD
所以,DD
1⊥CE,
Rt△DAE中,AD=1,AE=1,
DE=
=
,
同理:CE=
,又CD=2,CD
2=CE
2+DE
2,
DE⊥CE,
DE∩CE=E,
所以,CE⊥面D
1DE,
又D
1E?面D
1EC,
所以,D
1E⊥CE.
(2)設(shè)平面CD
1E的法向量為
=(x,y,z),
由(1)得
=(1,1,-1),
=(1,-1,0)
•
=x+y-1=0,
•
=x-y=0
解得:x=y=
,即
=(
,
,1);
又平面CDE的法向量為
=(0,0,1),
∴cos<
,
>=
=
=
,
所以,二面角D
1-EC-D的余弦值為
,
(3))由(1)(2)知
=(0,1,0),平面CD
1E的法向量為
=(
,
,1)
故,A點到平面CD
1E的距離為d=
=
=
.
點評:本題主要考查直線和平面垂直的性質(zhì),以及空間二面角和點到直線的距離的計算,利用向量法是解決本題的關(guān)鍵.