Question

已知等比數(shù)列{a_n}前n項和為S_n=2ⁿ-a，n∈N^*，設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{b_n}滿足：b₁=a₁+2，（b₄+5）²=（b₂+5）（b₈+5）．
（Ⅰ）求a_n及b_n；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{log 

2

 an}的前n項和為T_n，求使T_n＞b_n的最小的正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得2²=（2-a）•4，解得a=1，從而an=2n-1．由已知得（8+3d）²=（8+d）（8+7d），從而得到b_n=8n-5，n∈N^*．
（Ⅱ）由log 

2

 an=log

2

(2n-1)=2（n-1），得T_n=n（n-1）．由T_n＞b_n，得n（n-1）＞8n-5，由此能求出使T_n＞b_n的最小正整數(shù)n的值．

解答： （Ⅰ）∵等比數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ-a，n∈N^*，
∴a₁=S₁=2-a，
a₂=（2²-a）-（2-a）=2，
a₃=（2³-a）-（2²-a）=4，
∵a22=a1•a3，
∴2²=（2-a）•4，解得a=1，
∴an=2n-1．
∵公差不為零的等差數(shù)列{b_n}滿足：b₁=a₁+2，且（b₄+5）²=（b₂+5）（b₈+5），
∴

b1=3 (b4+5)2=(b2+5)(b8+5)

，
∴（8+3d）²=（8+d）（8+7d），
解得d=0（舍），或d=8，
∴b_n=8n-5，n∈N^*．
（Ⅱ）∵a_n=2^n-1，∴l(xiāng)og 

2

 an=log

2

(2n-1)=2（n-1），
∴數(shù)列{log 

2

 an}的前n項和
T_n=2（1-1）+2（2-1）=2（3-1）+2（4-1）+…+2（n-1）
=2[0+1+2+3+…+（n-1）]
=2×

n(n-1)

2

=n（n-1）．
∵b_n=8n-5，T_n＞b_n，
∴n（n-1）＞8n-5，
∵n∈N^*，∴n≥9，
∴使T_n＞b_n的最小正整數(shù)n的值是9．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查使T_n＞b_n的最小正整數(shù)n的值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．