Question

已知函數(shù)，其中．

（1）設(shè)，求的取值范圍，并把表示為的函數(shù)；

（2）求函數(shù)的最大值（可以用表示）；

（3）若對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意，總有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

 解：（1）因?yàn)?sub>，又因?yàn)?sub>，所以 從而，所以．又因?yàn)?sub>，所以，因?yàn)?sub>，所以，．-------4分

（2）求函數(shù)的最大值即求，的最大值．

,對(duì)稱(chēng)軸為．      --------5分

當(dāng)，即時(shí)， ；

當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，；             --------9分

綜上， 當(dāng)時(shí)，的最大值是；當(dāng)時(shí)，的最大值是；當(dāng)時(shí)，的最大值是．            -------   10分

（3）要使得對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意恒成立，只需．也就是要求對(duì)成立

因?yàn)楫?dāng)，即時(shí)，；

且當(dāng)時(shí)，         --------11分

結(jié)合問(wèn)題（2）需分四種情況討論：

①時(shí)，成立，所以；

②時(shí)，即，注意到函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，于是成立，所以

③時(shí)，即，注意到函數(shù)在上單調(diào)遞增，

故，于是成立，所以；

④時(shí)，，即，所以；                                           --------15分

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．