Question

我校社團(tuán)聯(lián)即將舉行一屆象棋比賽，規(guī)則如下：兩名選手比賽時，每局勝者得分，負(fù)者得分，比賽進(jìn)行到有一人比對方多分或打滿局時結(jié)束.假設(shè)選手甲與選手乙比賽時，甲每局獲勝的概率皆為，且各局比賽勝負(fù)互不影響.
（Ⅰ）求比賽進(jìn)行局結(jié)束，且乙比甲多得分的概率；
（Ⅱ）設(shè)表示比賽停止時已比賽的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）隨機(jī)變量的分布列為

試題分析：（Ⅰ）這是一個獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，比賽進(jìn)行局結(jié)束，且乙比甲多得分，只能是前兩局乙勝一局，3,4局乙連勝，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)從而求出，值得注意的是，做這一類題，一定分析清楚，否則容易出錯；（Ⅱ）設(shè)表示比賽停止時已比賽的局?jǐn)?shù)，只能取值，不能為3,5，分別求出的取值為的概率，列分布列，從而求出數(shù)學(xué)期望，易錯點(diǎn)為的取值不正確，導(dǎo)致分布列錯誤。
試題解析：（Ⅰ）由題意知，乙每局獲勝的概率皆為.比賽進(jìn)行局結(jié)束，且乙比甲多得分即頭兩局乙勝一局，3,4局連勝，則.   
（Ⅱ）由題意知，的取值為.則 ， ，所以隨機(jī)變量的分布列為
則