分析:(1)把點(a
n•a
n+1)代入直線方程求得數(shù)列的遞推式,整理得a
n+1+1=2(a
n+1),判斷出{a
n+1}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,進而根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得a
n.同時根據(jù)
=++••+(n≥2)求得
=++••++,進而判斷出
=+整理得b
n+1a
n-(b
n+1)a
n+1=0,進而看當n=1時b
2a
1-(b
1+1)a
2=-3.,綜合可得答案.
(2)根據(jù)(1)可知
=(n≥2)進而求得
(1+)(1+)••(1+)=
2(++…+),先看當k≥2時求得
-=<,進而可知
(1+)(1+)••(1+bn)<b1b2••bn.進而再看n=1時不等式也成立.原式得證.
解答:解:(1)∵點(a
n,a
n+1)在直線y=2x+1上,∴a
n+1=2a
n+1∴a
n+1+1=2(a
n+1),
即(a
n+1)是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列∴a
n=2
n-1
又
=++…+(n≥2)∴
=++…++∴
=+∴b
n+1a
n-(b
n+1)a
n+1=0(n≥2)
當n=1時,b
1=a
1=1,b
2=a
2=3
則b
2a
1-(b
1+1)a
2=-3.
(2)由(1)知
=(n≥2),b2=a2∴
(1+)(1+)••(1+)=•••=••••••bn+1=•••••••bn+1=2•=2(++…+).
∵k≥2時,
-=<=
2(-)∴
++…+=1++••+<1+2[(-)+••
+(-)]=1+2(-)<∴
(1+)(1+)••(1+bn)<b1b2••bn.另證:當n≥2時2
n-2≥1(僅當n=2取等號)
∴2
n-1≥3•2
n-2,即
-≤•(n≥2)∴當n≥2時,
++…+≤1+(1++…+)=1+•=-<而n=1顯然成立
∴
(1+)(1+)••(1+)<即
(1+b1)(1+b2)••(1+bn)<b1b2••bn. 點評:本題主要考查了不等式和數(shù)列的綜合,數(shù)列通項公式的確定,考查了學生綜合運用不等式和數(shù)列知識解決問題的能力.