Question

定義：若在上為增函數(shù)，則稱(chēng)為“k次比增函數(shù)”，其中. 已知，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

   （1）若是“1次比增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

   （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；

   （3）求證：.

Answer 1

【解析】：（1）由題意知上為增函數(shù)，因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/10/28/22/2014102822424059307091.files/image124.gif'>在上

恒成立.又，則在上恒成立，

即在上恒成立.   而當(dāng)時(shí)，，所以，

           于是實(shí)數(shù)a的取值范圍是.………………………………4分

           （2）當(dāng)時(shí)，，則.

            當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，.

            則的增區(qū)間為（2，＋∞），減區(qū)間為（－∞，0），（0，2）.……6分

                因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/10/28/22/2014102822424059307091.files/image141.gif'>，所以，

                ①當(dāng)，即時(shí)，在[]上單調(diào)遞減，

                所以.

                ②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，所以.

③當(dāng)時(shí)，在[]上單調(diào)遞增，所以.

綜上，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.…………………………8分

          （3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，所以，

                可得………………………………10分

                于是