Question

如圖，已知雙曲線C₁：，曲線C₂：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點，若存在過點P的直線與C₁，C₂都有公共點，則稱P為“C₁-C₂型點“
（1）在正確證明C₁的左焦點是“C₁-C₂型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；
（2）設(shè)直線y=kx與C₂有公共點，求證|k|＞1，進(jìn)而證明原點不是“C₁-C₂型點”；
（3）求證：圓x²+y²=內(nèi)的點都不是“C₁-C₂型點”

Answer 1

【答案】分析：（1）由雙曲線方程可知，雙曲線的左焦點為（），當(dāng)過左焦點的直線的斜率不存在時滿足左焦點是“C₁-C₂型點”，當(dāng)斜率存在時，要保證斜率的絕對值大于等于該焦點與（0，1）連線的斜率；
（2）由直線y=kx與C₂有公共點聯(lián)立方程組有實數(shù)解得到|k|＞1，分過原點的直線斜率不存在和斜率存在兩種情況說明過遠(yuǎn)點的直線不可能同時與C₁和C₂有公共點；
（3）由給出的圓的方程得到圓的圖形夾在直線y=x±1與y=-x±1之間，進(jìn)而說明當(dāng)|k|≤1時過圓內(nèi)的點且斜率為k的直線與C₂無公共點，當(dāng)|k|＞1時，過圓內(nèi)的點且斜率為k的直線與C₂有公共點，再由圓心到直線的距離小于半徑列式得出k的范圍，結(jié)果與|k|＞1矛盾．從而證明了結(jié)論．
解答：（1）解：C₁的左焦點為（），寫出的直線方程可以是以下形式：
或，其中．
（2）證明：因為直線y=kx與C₂有公共點，
所以方程組有實數(shù)解，因此|kx|=|x|+1，得．
若原點是“C₁-C₂型點”，則存在過原點的直線與C₁、C₂都有公共點．
考慮過原點與C₂有公共點的直線x=0或y=kx（|k|＞1）．
顯然直線x=0與C₁無公共點．
如果直線為y=kx（|k|＞1），則由方程組，得，矛盾．
所以直線y=kx（|k|＞1）與C₁也無公共點．
因此原點不是“C₁-C₂型點”．
（3）證明：記圓O：，取圓O內(nèi)的一點Q，設(shè)有經(jīng)過Q的直線l與C₁，C₂都有公共點，顯然l不與x軸垂直，
故可設(shè)l：y=kx+b．
若|k|≤1，由于圓O夾在兩組平行線y=x±1與y=-x±1之間，因此圓O也夾在直線y=kx±1與y=-kx±1之間，
從而過Q且以k為斜率的直線l與C₂無公共點，矛盾，所以|k|＞1．
因為l與C₁由公共點，所以方程組有實數(shù)解，
得（1-2k²）x²-4kbx-2b²-2=0．
因為|k|＞1，所以1-2k²≠0，
因此△=（4kb）²-4（1-2k²）（-2b²-2）=8（b²+1-2k²）≥0，
即b²≥2k²-1．
因為圓O的圓心（0，0）到直線l的距離，
所以，從而，得k²＜1，與|k|＞1矛盾．
因此，圓內(nèi)的點不是“C₁-C₂型點”．
點評：本題考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查了點到直線的距離公式，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．屬難題．