Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意的x都有f（x+2）=f（x）成立，且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)．
（1）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并加以證明；
（2）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（3）當(dāng)關(guān)于x的方程f（x）-1=2λ在[-1，1]上有實(shí)數(shù)解時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍，

Answer 1

解：（1）f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，證明如下
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=．
設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=-=
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴＞0，2-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減
（2）解：當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，-x∈（0，1）．
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=-
由f（0）=f（-0）=-f（0），且f（1）=-f（-1）=-f（-1+2）=-f（1），
得f（0）=f（1）=f（-1）=0．∴在區(qū)間[-1，1]上，有f（x）=
（3）解：f（x）-1=2λ在[-1，1]上有實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為λ=f（x）-由函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在[-1，1]的值域
即得，f（x）的值域?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/139963.png' />
分析：（1）用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，作差，變形，判號(hào)，得出結(jié)論四步，
（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解，其步驟是先設(shè)x∈（-1，0），則-x∈（0，1），求出f（-x），再利用奇函數(shù)的性質(zhì)，得到 f（x）=-f（-x）求出x∈（-1，0），上的表達(dá)式，再由所給的恒等式求出自變量為-1，0，1時(shí)的函數(shù)值為零，用分段函數(shù)寫出解析式．
（3）將λ表示為x的函數(shù)，單調(diào)性求f（x）在[-1，1]上值域，利用一次函數(shù)的單調(diào)性求出λ的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性證明以及利用函數(shù)的奇偶性求對(duì)稱區(qū)間上的解析式，思路簡(jiǎn)單，運(yùn)算變形較繁，是一道提高答題者耐心的好題．