已知橢圓過(guò)點(diǎn),離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)且斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線、分別交直線 于、兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為.記直線的斜率為，求證: 為定值.

（Ⅰ）；（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)條件可得以下方程組: ，解這個(gè)方程組求出、的值便得橢圓的方程；（Ⅱ）將用表示出來(lái)，這樣就是一個(gè)只含的式子，將該式化簡(jiǎn)即可.那么如何用來(lái)表示？
設(shè)，.因?yàn)锳（2，0），所以直線的方程分別為：.
令得：所以的中點(diǎn)為：
由此得直線的斜率為：

       ①

再設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得:
設(shè)，，則由韋達(dá)定理得:代入①式，便可將用
表示出來(lái)，從而得到的值.
試題解析：（Ⅰ）由題設(shè): ，解之得,所以橢圓的方程為  4分
（Ⅱ）設(shè)直線的方程為代入橢圓方程得:
設(shè)，，則由韋達(dá)定理得:
直線的方程分別為：

令,得：所以


              13分
考點(diǎn)：1、橢圓及其方程；2、直線的方程；3、中點(diǎn)坐標(biāo)公式；4、根與系數(shù)的關(guān)系.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線：和⊙：，過(guò)拋物線上一點(diǎn)作兩條直線與⊙相切于、兩點(diǎn)，分別交拋物線為E、F兩點(diǎn)，圓心點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為．

（1）求拋物線的方程；
（2）當(dāng)的角平分線垂直軸時(shí)，求直線的斜率；
（3）若直線在軸上的截距為，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.
（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；
（2）設(shè)為平面上的點(diǎn)，滿(mǎn)足：存在過(guò)點(diǎn)的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點(diǎn)為F2，點(diǎn)F1與F2關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓C過(guò)點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2作直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，且，若的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)在軸上，若右焦點(diǎn)到直線的距離為3.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

知橢圓的離心率為，定點(diǎn)，橢圓短軸的端點(diǎn)是，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn).試問(wèn)軸上是否存在異于的定點(diǎn)，使平分？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（－4，0）的動(dòng)直線l與拋物線G：相交于B、C，當(dāng)直線l的斜率是時(shí)，．
（Ⅰ）求拋物線G的方程；
（Ⅱ）設(shè)線段BC的垂直平分線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，橢圓的左頂點(diǎn)為，是橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn) 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．

（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值；
（2）若橢圓上存在點(diǎn)，使得，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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