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某產品按行業(yè)生產標準分成8個等級，等級系數ξ依次為1，2，…，8，產品的等級系數越大表明產品的質量越好，現從某廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如圖：
（I）該行業(yè)規(guī)定產品的等級系數ξ≥7的為一等品，等級系數5≤ξ＜7的為二等品，等級系數3≤ξ＜5的為三等品，試分別估計該廠生產的產品的一等品率、二等品率和三等品率；
（II）已知該廠生產一件該產品的利潤y（單位：元）與產品的等級系數ξ的關系式為：y=
3，，3≤ξ＜5
5，5≤ξ＜7
8，ξ≥7
，從該廠生產的商品中任取一件，其利潤記為X，用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求隨機變量X的分布列和數學期望．
分析：（I）根據題意，由樣本數據可得30件產品中一等品、二等品、三等品的數目，計算可得三個等級各自的其頻率，由頻率的意義可得答案；
（II）X的可能取值為3，5，8，求出相應的概率，即可求得分布列與數學期望．
解答：解：（I）根據題意，由樣本數據知，30件產品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．
∴樣本中一等品的頻率為
6
30
=0.2，故估計該廠生產的產品的一等品率為0.2，
二等品的頻率為
9
30
=0.3，故估計該廠產品的二等品率為0.3，
三等品的頻率為
15
30
=0.5，故估計該廠產品的三等品率為0.5；
（II）X的可能取值為3，5，8，則P（X=3）=0.5，P（X=5）=0.3，P（X=8）=0.2
X的分布列如下
 X  3  5  8
 P  0.5 0.3  0.2 
數學期望EX=3×0.5+5×0.3+8×0.2=5.4（元）
點評：本題考查等可能事件的概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與期望，確定變量的取值是關鍵．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

某產品按行業(yè)生產標準分成8個等級，等級系數ξ依次為1，2，…8，產品的等級系數越大表明產品的質量越好．現從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下：
3   5   3   3   8   5   5   6   3   4
6   3   4   7   5   3   4   8   5   3
8   3   4   3   4   4   7   5   6   7
該行業(yè)規(guī)定產品的等級系數ξ≥7的為一等品，等級系數5≤ξ＜7的為二等品，等級系數3≤ξ＜5的為三等品，ξ＜3為不合格品．
（1）試分別估計該廠生產的產品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）從樣本的一等品中隨機抽取2件，求所抽得2件產品等級系數都是8的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•包頭三模）某產品按行業(yè)生產標準分成8個等級，等級系數ξ依次為1，2，…，8，其中ξ≥5為標準A，ξ≥3為標準B，產品的等級系數越大表明產品的質量越好．已知某廠執(zhí)行標準B生產該產品，且該廠的產品都符合相應的執(zhí)行標準．從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下：
3   5   3   3   8   5   5   6   3   4
6   3   4   7   5   3   4   8   5   3
8   3   4   3   4   4   7   5   6   7
該行業(yè)規(guī)定產品的等級系數ξ≥7的為一等品，等級系數5≤ξ＜7的為二等品，等級系數3≤ξ＜5的為三等品．
（1）試分別估計該廠生產的產品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）從樣本的一等品中隨機抽取2件，求所抽得2件產品等級系數都是8的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•揭陽一模）某產品按行業(yè)生產標準分成8個等級，等級系數ξ依次為1，2，…，8，其中ξ≥5為標準A，ξ≥3為標準B，產品的等級系數越大表明產品的質量越好，已知某廠執(zhí)行標準B生產該產品，且該廠的產品都符合相應的執(zhí)行標準．
（1）從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下：
3   5   3   3   8   5   5   6   3   4
6   3   4   7   5   3   4   8   5   3
8   3   4   3   4   4   7   5   6   7
該行業(yè)規(guī)定產品的等級系數ξ≥7的為一等品，等級系數5≤ξ＜7的為二等品，等級系數3≤ξ＜5的為三等品，試分別估計該廠生產的產品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）已知該廠生產一件該產品的利潤y（單位：元）與產品的等級系數ξ的關系式為：y=
1，3≤ξ＜5
2，5≤ξ＜7
4，ξ≥7
，從該廠生產的產品中任取一件，其利潤記為X，用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求X的分布列和數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•泰安一模）某產品按行業(yè)生產標準分成6個等級，等級系數ξ依次為1，2，3，4，5，6，按行業(yè)規(guī)定產品的等級系數ξ≥5的為一等品，3≤ξ＜5的為二等品，ξ＜3的為三等品．
若某工廠生產的產品均符合行業(yè)標準，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下；

（I）以此30件產品的樣本來估計該廠產品的總體情況，試分別求出該廠生產原一等品、二等品和三等品的概率；
（II）已知該廠生產一件產品的利潤y（單位：元）與產品的等級系數ζ的關系式為y=
1，ξ＜3
2，3≤ξ＜5
4，ξ≥5
，若從該廠大量產品中任取兩件，其利潤記為Z，求Z的分布列和數學期望．

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