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3.已知△ABC的三個內角A,B,C的對邊依次為a,b,c,滿足tanBtanC=2ab
(1)求角C的大��;
(2)若c=2,求△ABC周長的取值范圍.

分析 (1)由正弦定理及三角函數恒等變換的應用化簡已知可得sinBcosBsinC=2sinAsinBcosC-sin2BcosC,又sinB≠0,可得:2sinAcosC=sinA,結合sinA≠0,可得cosC=12,由C∈(0,π)可得C的值.
(2)設三角形外接圓半徑為R,由正弦定理結合三角恒等變換,將三角形周長化成C=4sin(A+\frac{π}{6})+2,再根據A∈(0,\frac{2π}{3}),結合三角函數的圖象與性質即可算出△ABC周長的取值范圍.

解答 解:(1)∵\frac{tanB}{tanC}=\frac{2a-b}
∴由正弦定理可得:\frac{sinBcosC}{cosBsinC}=\frac{sinB}{2sinA-sinB},可得:sinBcosBsinC=2sinAsinBcosC-sin2BcosC,
∵B∈(0,π),sinB≠0,可得:cosBsinC=2sinAcosC-sinBcosC,
∴2sinAcosC=cosBsinC+sinBcosC=sin(B+C)=sinA,
∵A∈(0,π),sinA≠0,可得:cosC=\frac{1}{2},
∴由C∈(0,π),可得:C=\frac{π}{3}.…(3分)
(2)設三角形外接圓半徑為R,
則周長C=a+b+c=2R(sinA+sinB)+2=\frac{2}{sin\frac{π}{3}}[sinA+sin(A+\frac{π}{3})]+2
=\frac{4}{\sqrt{3}}\frac{3}{2}sinA+\frac{\sqrt{3}}{2}cosA)+2=4(sinAcos\frac{π}{6}+cosAsin\frac{π}{6})+2
=4sin(A+\frac{π}{6})+2,…(6分)
∵A∈(0,\frac{2π}{3}),∴A+\frac{π}{6}∈(\frac{π}{6}\frac{5π}{6}),得4sin(A+\frac{π}{6})∈(2,4],
因此,周長的取值范圍為(4,6]. …(8分)

點評 本題給出三角形的邊角關系,求C的大小并求三角形周長的取值范圍.著重考查了利用正弦定理解三角形、三角恒等變換等知識,屬于中檔題.

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