Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每個側(cè)面均是邊長為2的正方形，D為底邊AB的中點，E為側(cè)棱CC₁的中點，AB₁與A₁B的交點為O．
（Ⅰ）求證：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求點A到平面A₁EB的距離．

Answer 1

分析：對于（Ⅰ），要證明CD∥平面A₁EB，只需證明CD與平面A₁EB內(nèi)的一條直線平行，根據(jù)本題條件，
設(shè)AB₁和A₁B的交點為O，連接EO，連接OD，則容易證明ECOD為平行四邊形，從而EO∥CD，根據(jù)線面
平行的判定證明即可；
對于（Ⅱ），求點到平面的距離，應(yīng)該是點A到平面A₁EB的垂線段的長度，而由本題條件，考慮證明
AO與平面A₁EB垂直，則距離就是AO的長度，由第一問可得：AO⊥OE，又側(cè)面是正方形，容易得到
AO⊥A₁B，從而AO與平面A₁EB垂直，距離就是AO的長度．

解答：證明：（Ⅰ）設(shè)AB₁和A₁B的交點為O，連接EO，連接OD．
因為O為AB₁的中點，D為AB的中點，所以O(shè)D∥BB₁且OD=

1

2

BB1．
又E是CC₁中點，
則EC∥BB₁且EC=

1

2

BB1，即EC∥OD且EC=OD，
則四邊形ECOD為平行四邊形．所以EO∥CD．
又CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，則CD∥平面A₁BE．（7分）

（Ⅱ）因為三棱柱各側(cè)面都是正方形，所以BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，
所以BB₁⊥平面ABC．
因為CD?平面ABC，所以BB₁⊥CD．
由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB．
所以CD⊥平面A₁ABB₁．
由（Ⅰ）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A₁ABB₁．
所以EO⊥AB₁．
因為側(cè)面是正方形，所以AB₁⊥A₁B．
又EO∩A₁B=O，EO?平面A₁EB，A₁B?平面A₁EB，
所以AB₁⊥平面A₁BE．
點A到到平面A₁EB的垂線段為AO，故距離等于

2

（14分）

點評：本題考查線面平行的判定與點到面距離的求法，其中轉(zhuǎn)化思想非常重要，即將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行，點面距離轉(zhuǎn)化為線面垂直．