【答案】
分析:(1)設P1(x,y),根據(jù)題設的條件建立關于點P
1的坐標x,y的等式.
(2)設過P
1(x
1,y
1),P
2(x
2,y
2) 兩點的直線P
1P
2的方程為:y=k(x-1)代入y
2=4x得到關于x的一元二次方程,利用根系關系得到x的一元二次方程,利用根系關系得到兩根之和與兩根之差.解出兩線段長度的倒數(shù)和,解得其值為定值.
解答:解:(1)設P
1(x,y),則由:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213548361816384/SYS201310232135483618163007_DA/0.png)
得M是線段FT的中點,得M(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213548361816384/SYS201310232135483618163007_DA/1.png)
)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213548361816384/SYS201310232135483618163007_DA/2.png)
=(-x,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213548361816384/SYS201310232135483618163007_DA/3.png)
-y)
又∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213548361816384/SYS201310232135483618163007_DA/4.png)
=(-2,t),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213548361816384/SYS201310232135483618163007_DA/5.png)
=(-1-x,t-y)
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213548361816384/SYS201310232135483618163007_DA/6.png)
⊥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213548361816384/SYS201310232135483618163007_DA/7.png)
∴2x+t(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213548361816384/SYS201310232135483618163007_DA/8.png)
-y)=0 ①
∵
∥![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213548361816384/SYS201310232135483618163007_DA/10.png)
∴(-1-x)•0+(t-y)•1=0化簡得:t=y ②
由①、②得:y
2=4x
這里用了參數(shù)方程的思想求軌跡方程;②也可以利用向量的幾何意義,利用拋物線的定義判斷軌跡為拋物線,從而求解.)
(2)易知F(1,0)是拋物線y
2=4x的焦點,由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213548361816384/SYS201310232135483618163007_DA/11.png)
,
得(x
1,y
1),P
2(x
2設過P
1(x
1,y
1),P
2(x
2,y
2) 兩點的直線P
1P
2的方程為:y=k(x-1)代入y
2=4x
得k
2x
2-2(k
2+2)x+k
2=0
則x
1x
2=1,x
1+x
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213548361816384/SYS201310232135483618163007_DA/12.png)
∴
=![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213548361816384/SYS201310232135483618163007_DA/14.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213548361816384/SYS201310232135483618163007_DA/15.png)
=1.
點評:考查用參數(shù)法求軌跡方程與直線與圓的位置關系,本題兩個題運算量都較大,解題過程較長,要嚴謹做題.