如圖1,,
,過動點A作
,垂足
在線段
上且異于點
,連接
,沿
將△
折起,使
(如圖2所示).
(1)當的長為多少時,三棱錐
的體積最大;
(2)當三棱錐的體積最大時,設點
,
分別為棱
、
的中點,試在棱
上確定一點
,使得
,并求
與平面
所成角的大小.
(1)時, 三棱錐
的體積最大.(2)
【解析】
試題分析:(1)解法1:在如圖1所示的△中,設
,則
.
由,
知,△
為等腰直角三角形,所以
.
由折起前知,折起后(如圖2),
,
,且
,
所以平面
.又
,所以
.于是
,
當且僅當,即
時,等號成立
故當,即
時, 三棱錐
的體積最大.
解法2:同解法1,得.
令,由
,且
,解得
.
當時,
;當
時,
.
所以當時,
取得最大值.
故當時, 三棱錐
的體積最大.
(2)解法1:以D為原點,建立如圖a所示的空間直角坐標系D-.
由(Ⅰ)知,當三棱錐A-BCD的體積最大時,BD=1,AD=CD=2.
于是可得D(0,0,0,),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2)M(0,1,1)E(,1,0),且BM=(-1,1,1).
設N(0,, 0),則EN=
,
-1,0).因為EN⊥BM等價于EN·BM=0,即(
,
-1,0)·(-1,1,1)=
+
-1=0,故
=
,N(0,
,0)
所以當DN=時(即N是CD的靠近點D的一個四等分點)時,EN⊥BM.
設平面BMN的一個法向量為n=(,
,
),由
可取
=(1,2,-1)
設與平面
所成角的大小為
,則由
,
,可得
,即
.
故與平面
所成角的大小為
解法2:由(Ⅰ)知,當三棱錐的體積最大時,
,
.
如圖b,取的中點
,連結
,
,
,則
∥
.
由(Ⅰ)知平面
,所以
平面
.
如圖c,延長至P點使得
,連
,
,則四邊形
為正方形,
所以. 取
的中點
,連結
,又
為
的中點,則
∥
,
所以. 因為
平面
,又
面
,所以
.
又,所以
面
. 又
面
,所以
.
因為當且僅當
,而點F是唯一的,所以點
是唯一的.
即當(即
是
的靠近點
的一個四等分點),
.
連接,
,由計算得
,
所以△與△
是兩個共底邊的全等的等腰三角形,
如圖d所示,取的中點
,連接
,
,
則平面
.在平面
中,過點
作
于
,
則平面
.故
是
與平面
所成的角.
在△中,易得
,所以△
是正三角形,
故,即
與平面
所成角的大小為
考點:用空間向量求直線與平面的夾角;棱柱、棱錐、棱臺的體積.
點評:本題主要考查了線面垂直的判定,折疊問題中的不變量,空間線面角的計算方法,空間向量、空間直角坐標系的運用,有一定的運算量,屬中檔題
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學 來源:2012年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(湖北卷解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖1,,
,過動點A作
,垂足D在線段BC上且異于點B,連接AB,沿
將△
折起,使
(如圖2所示).
(Ⅰ)當的長為多少時,三棱錐
的體積最大;
(Ⅱ)當三棱錐的體積最大時,設點
,
分別為棱
,
的中點,試在棱
上確定一點
,使得
,并求
與平面
所成角的大。
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科目:高中數(shù)學 來源:2012年湖北省高考數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題
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