Question

已知拋物線E的頂點在原點，焦點F在y軸正半軸上，拋物線上一點P（m，4）到其準線的距離為5，過點F的直線l依次與拋物線E及圓x²+（y-1）²=1交于A、C、D、B四點．
（1）求拋物線E的方程；
（2）探究|AC|•|BD|是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由；
（3）過點F作一條直線m與直線l垂直，且與拋物線交于M、N兩點，求四邊形AMBN面積最小值．

Answer 1

分析：（1）由拋物線E的頂點在原點，焦點F在y軸正半軸上，拋物線上一點P（m，4）到其準線的距離為5，根據拋物線定義得4+

p

2

=5，由此能求出拋物線方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），|AC|=|AF|-|CF|=|AF|-1|BD|=|BF|-|DF|=|BF|-1，由拋物線定義得：|AF|=y₁+1|BF|=y₂+1，由此能夠推導出|AC|•|BD|=y1y2=

x12

4

•

x22

4

=1為定值．
（3）設直線AB方程：y=kx+1，與拋物線方程聯(lián)立得：x²-4kx-4=0，由弦長公式|AB|=

1+k2

|x1-x2|=4(1+k2)，同理直線MN方程：y=-

1

k

x+1，與拋物線方程聯(lián)立得：x2+

4

k

x-4=0，由弦長公式得|MN|=4(1+

1

k2

)，由此能求出四邊形AMBN面積最小值．

解答：解：（1）∵拋物線E的頂點在原點，焦點F在y軸正半軸上，
拋物線上一點P（m，4）到其準線的距離為5，
∴根據拋物線定義得4+

p

2

=5，
解得p=2，
∴拋物線方程x²=4y．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
|AC|=|AF|-|CF|=|AF|-1|BD|=|BF|-|DF|=|BF|-1，
由拋物線定義得：|AF|=y₁+1|BF|=y₂+1，
∴|AC|•|BD|=y₁y₂，
設直線AB方程：y=kx+1，
與拋物線方程聯(lián)立得：x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∴|AC|•|BD|=y1y2=

x12

4

•

x22

4

=1為定值．
（3）設直線AB方程：y=kx+1，
與拋物線方程聯(lián)立得：x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
由弦長公式|AB|=

1+k2

|x1-x2|=4(1+k2)，
同理直線MN方程：y=-

1

k

x+1，
與拋物線方程聯(lián)立得：x2+

4

k

x-4=0，
由弦長公式得|MN|=4(1+

1

k2

)，
所以四邊形AMBN的面積S=

1

2

|AB||MN|=8(1+k2)(1+

1

k2

)
=8(2+k2+

1

k2

)≥32，
當k=±1時，取“=”．
故四邊形AMBN面積最小值為32．

點評：本題考查拋物線方程的求法，探究|AC|•|BD|是否為定值，考查四邊形面積最小值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．