Question

【題目】已知函數(shù)

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)的不同取值，結(jié)合函數(shù)的定義域，以及二次方程根的情況進(jìn)行分類討論求解即可；

（2）令，由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，對(duì)求導(dǎo)，然后根據(jù)的不同取值，分類討論最后求出的取值范圍，要證明，可以通過構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，利用新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

（1）易知的定義域?yàn)?/span>，且，

時(shí)，在上恒正，所以在上單調(diào)遞增，

時(shí)，對(duì)于，

①當(dāng)，即時(shí)，，在上是增函數(shù)；

②當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)正根，

所以，，單調(diào)遞增，

，，單調(diào)遞減

綜上，時(shí)，在上是增函數(shù)，時(shí)，在和上是增函數(shù),在上是減函數(shù)

（2）令，

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，

由

定義域?yàn)?/span>且

①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，則至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

②當(dāng)時(shí)，得，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則，由解得

此時(shí)

易知當(dāng)時(shí)，

，

令，所以，

時(shí)，在為增函數(shù)，

在為增函數(shù)，，

所以，即

所以

函數(shù)在與各存在一個(gè)零點(diǎn)

綜上所述，.

∴證明證明時(shí)，成立

設(shè)，則

易知在上遞減，，在上單調(diào)遞減

，

所以.