Question

已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4和直線l：x+2y+2=0，直線m，n都經過圓C外定點A（1，0）．
（Ⅰ）若直線m與圓C相切，求直線m的方程；
（Ⅱ）若直線n與圓C相交于P，Q兩點，與l交于N點，且線段PQ的中點為M，求證：|AM|•|AN|為定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）①若直線m的斜率不存在，即直線是x=1，符合題意．
②若直線m斜率存在，設直線m為y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由題意知，圓心（3，4）到已知直線l₁的距離等于半徑2，
即：，解之得．
所求直線方程是x=1，3x-4y-3=0．
（II）用幾何法，如圖所示，
△AMC∽△ABN，則=，
可得|AM|•|AN|=|AC|•|AB|=2•=6，
是定值．
分析：（Ⅰ）①當直線m的斜率不存在，即直線是x=1，成立，②當直線m斜率存在，設直線m為y=k（x-1），由圓心到直線的距離等于半徑求解．
（II）用幾何法，作出直線與圓的圖象，根據(jù)三角形相似，將|AM|•|AN|轉化為|AC|•|AB|驗證求解．
點評：本題主要考查直線與圓的位置關系及其方程的應用，主要涉及了直線與圓相切，直線與圓相交時構造三角形及三角形相似的應用．