Question

已知橢圓C的焦點為F₁（-1，0）、F₂（1，0），點P（-1，

2

2

）在橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若拋物線E：y²=2px（p＞0）與橢圓C相交于點M、N，當△OMN（O是坐標原點）的面積取得最大值時，求P的值．
（3）在（2）的條件下，過點F₂作任意直線l與拋物線E相交于點A、B兩點，則直線AF₁與直線BF₁的斜率之和是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件求出2a=|PF₁|+|PF₂|=2

2

，c=1，由此能求出橢圓C的方程．
（2）根據(jù)橢圓和拋物線的對稱性，設(shè)M（x₀，y₀）、N（x₀，-x₀），（x₀，y₀＞0），△OMN的面積S=x₀y₀，由此能求了出p的值．
（3）當直線l垂直于x軸時，根據(jù)拋物線的對稱性，有kAF2+kBF1=0．當直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），k≠0，A，B兩點的坐標滿足方程組

y=k(x-1) y2= 1 2 x，x＞0

，由此能求出直線AF₁與直線BF₁，斜率之和為定值0．

解答： 解：（1）依題意，設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，…（1分），
∵橢圓C的焦點為F₁（-1，0）、F₂（1，0），點P（-1，

2

2

）在橢圓上，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=

0+( 2 2 )2

+

4+( 2 2 )2

=2

2

，…（2分），
∴a=

2

，c=1，…（3分），
∴b=

a2-c2

=1，…（4分），
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．…（4分）
（2）根據(jù)橢圓和拋物線的對稱性，
設(shè)M（x₀，y₀）、N（x₀，-y₀），（x₀，y₀＞0）…（5分），
△OMN的面積S=

1

2

x0•(2y0)=x₀y₀，…（6分），
∵M（x₀，y₀）在橢圓上，∴

x02

2

+y02=1，∴y02=1-

x02

2

，
那么S²=x02y02=x 02（1-

x02

2

）=-

1

2

(x02-1)2+

1

2

，
當x02=1時，Smax2=

1

2

，
即當x₀=1，（x₀＞1）時，S_max=

2

2

．
將x₀=1代入y02=1-

x02

2

得

x0=1 y0= 2 2

，…（8分），
∵M（1，

2

2

）在拋物線y²=2px上，∴

1

2

=2p，
解得p=

1

4

．…（9分），
（3）（A）當直線l垂直于x軸時，
根據(jù)拋物線的對稱性，有∠AF₁F₂=∠BF₁F₂，
則kAF2+kBF1=0．…（10分），
（B）當直線l與x軸不垂直時，
依題意設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），k≠0，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A，B兩點的坐標滿足方程組

y=k(x-1) y2= 1 2 x，x＞0

．…（11分），
化簡得2k²x²-（4k²+1）x+2k²=0，
依韋達定理得

x1+x2= 4k2+1 2k2 x1x2=1

，…（12分），
又kAF1=

y1

x1+1

=

k(x1-1)

x1+1

，yBF1=

k(x2-1)

x2+1

，
∴kAF1+kAF1=

k(x1-1)

x1+1

+

k(x2-1)

x2+1

=

k(x1-1)(x2+1)+k(x2-1)(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

2k(x1x2-1)

(x1+1)(x2+1)

，
把

x1+x2= 4k2+1 2k2 x1x2=1

代入，得kAF1+kBF1=0，
綜上，直線AF₁與直線BF₁的斜率之和為定值0．…（14分），

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查拋物線中參數(shù)的求法，考查兩直線的斜率之和為定值的證明，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．