Question

已知正數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn，且有Sn=

1

4

(an+1)2，數(shù)列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首項(xiàng)為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
（1）求證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）若c_n=a_n•（2-b_n），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）在（2）條件下，是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列(

Tn+λ

an+2

)為等比數(shù)列？若存在，試求出λ；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用Sn=

1

4

(an+1)2，再寫一式，兩式相減，化簡可得（a_n+a_n+1）（a_n-a_n-1-2）=0，即可證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)，利用錯位相減法，可求數(shù)列的前n項(xiàng)和T_n；
（3）利用等差數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，可求常數(shù)λ的值．

解答：（1）證明：由Sn=

1

4

(an+1)2，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=

1

4

(a1+1)2，
∴a₁=1，…（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=

1

4

(an-1+1)2，
∴an=Sn-Sn-1=

1

4

(

a

2 n

-

a

2 n-1

+2an-2an-1)，
即（a_n+a_n+1）（a_n-a_n-1-2）=0，…（3分）
∴數(shù)列{a_n}是a₁=1，d=2的等差數(shù)列；                …（4分）
（2）解：依題意b1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，bn-bn-1=(

1

2

)n-1，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1=2(1-

1

2n

)．
∴cn=an•(2-bn)=(2n-1)•

2

2n

．
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=2(

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

)①
∴

1

2

Tn=2(

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-1

2n+1

)，②…（8分）
①-②得

1

2

Tn=2(

1

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

)，
∴

1

2

Tn=4(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)-

2n-1

2n

-1，
∴Tn=6-

2n+3

2n-1

…（10分）
（3）解：∵

Tn+λ

an+2

=(6-

2n+3

2n-1

+λ)×

1

2n+3

=

λ+6

2n+3

-

1

2n-1

…（12分）
要使數(shù)列(

Tn+λ

an+2

)為等比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)λ+6=0，即λ=-6時(shí)，
故存在λ=-6，使(

Tn+λ

an+2

)為等比數(shù)列…（14分）

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查錯位相減法的運(yùn)用，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．