【題目】已知橢圓：的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，在直線上存在點(diǎn)，使三角形為正三角形，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由離心率得，再把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合可解得，得橢圓方程；

（2）設(shè)直線方程為，與聯(lián)立方程組，消去，設(shè)，，由韋達(dá)定理得.設(shè)線段的中點(diǎn)為，得直線方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)（此結(jié)論對(duì)也適用），是等邊三角形等價(jià)于，由此可把用表示，設(shè)換元后，可利用基本不等式求得最值．

（1）設(shè)，則，，所以，，

由點(diǎn)在橢圓上得，

，，所以橢圓的方程為.

（2）顯然，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，

與聯(lián)立方程組，消去，并化簡(jiǎn)得.

設(shè)，，則，.

設(shè)線段的中點(diǎn)為，則直線：，令，

又，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然當(dāng)時(shí)也符合，

所以.

又因?yàn)?/span>，

由三角形為正三角形得，

所以兩邊平方可得

，得.

令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以的最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，已知是直角三角形，側(cè)面是矩形，，，.

（1）證明：.

（2）是棱的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，，點(diǎn)是與的交點(diǎn).

（1）求二面角的余弦值；

（2）若點(diǎn)在線段上且平面，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知如圖一，，，，分別為，的中點(diǎn)，在上，且，為中點(diǎn)，將沿折起，沿折起，使得，重合于一點(diǎn)（如圖二），設(shè)為．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某小學(xué)一班級(jí)1999級(jí)同學(xué)舉行20周年聚會(huì)，該班共來(lái)了12位同學(xué)，其中女同學(xué)6位，聚會(huì)過(guò)程中有一個(gè)游戲環(huán)節(jié)，在游戲環(huán)節(jié)中，需要隨機(jī)從中選出2位同學(xué)代表，進(jìn)行男女搭配完成該項(xiàng)游戲，因此，每次選出的2位同學(xué)是一男一女，才算“有效選擇”；否則視為“無(wú)效選擇”，繼續(xù)下一次選擇，直到成為“有效選擇”為止.

（1）求第一次隨機(jī)選出的2位同學(xué)是“有效選擇”的概率；

（2）設(shè)第一次選出的2位同學(xué)代表中女同學(xué)人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校為了有效地加強(qiáng)高中生自主管理能力，推出了一系列措施，其中自習(xí)課時(shí)間的自主管理作為重點(diǎn)項(xiàng)目，學(xué)校有關(guān)處室制定了“高中生自習(xí)課時(shí)間自主管理方案”.現(xiàn)準(zhǔn)備對(duì)該“方案”進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果決定是否啟用該“方案”，調(diào)查人員分別在各個(gè)年級(jí)隨機(jī)抽取若干學(xué)生對(duì)該“方案”進(jìn)行評(píng)分，并將評(píng)分分成，，，七組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

相關(guān)規(guī)則為①采用百分制評(píng)分，內(nèi)認(rèn)定為對(duì)該“方案”滿(mǎn)意，不低于80分認(rèn)定為對(duì)該“方案”非常滿(mǎn)意，60分以下認(rèn)定為對(duì)該“方案”不滿(mǎn)意；②學(xué)生對(duì)“方案”的滿(mǎn)意率不低于即可啟用該“方案”；③用樣本的頻率代替概率.

（1）從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求被抽取的這位同學(xué)非常滿(mǎn)意該“方案”的概率，并根據(jù)頻率分布直方圖求學(xué)生對(duì)該“方案”評(píng)分的中位數(shù).

（2）根據(jù)所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷該校是否啟用該“方案”，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F任作兩條互相垂直的直線，，分別與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，則的最小值為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）判斷函數(shù)在點(diǎn)處的切線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）若有最大值，證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】近年來(lái)，共享單車(chē)在我國(guó)各城市迅猛發(fā)展，為人們的出行提供了便利，但也給城市的交通管理帶來(lái)了一些困難，為掌握共享單車(chē)在省的發(fā)展情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)從該省抽取了5個(gè)城市，并統(tǒng)計(jì)了共享單車(chē)的指標(biāo)和指標(biāo)，數(shù)據(jù)如下表所示：

城市1

城市2

城市3

城市4

城市5

指標(biāo)

2

4

5

6

8

指標(biāo)

3

4

4

4

5

（1）試求與間的相關(guān)系數(shù)，并說(shuō)明與是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系（若，則認(rèn)為與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，否則認(rèn)為沒(méi)有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系）.

（2）建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)指標(biāo)為7時(shí)，指標(biāo)的估計(jì)值.

（3）若某城市的共享單車(chē)指標(biāo)在區(qū)間的右側(cè)，則認(rèn)為該城市共享單車(chē)數(shù)量過(guò)多，對(duì)城市的交通管理有較大的影響交通管理部門(mén)將進(jìn)行治理，直至指標(biāo)在區(qū)間內(nèi)現(xiàn)已知省某城市共享單車(chē)的指標(biāo)為13，則該城市的交通管理部門(mén)是否需要進(jìn)行治理？試說(shuō)明理由.

參考公式：回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

，，相關(guān)系數(shù)

參考數(shù)據(jù)：，，.

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