Question

如圖，已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90°，RB=BC=2．點(diǎn)A、D分別是RB、RC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△RAD沿著邊AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，連接PB、PC．
（1）求證：BC⊥PB；
（2）求二面角A-CD-P的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）證明BC⊥PB，一般先證明線面垂直即找到一個平面包含其中一條直線而另一條直線與此平面垂直，即可證明線線垂直．
（2）取RD的中點(diǎn)F，連接AF、PF．∵RA=AD=1，∴AF⊥RC．根據(jù)題意可證明RC⊥平面PAF，因?yàn)镻F?平面PAF，所以RC⊥PF．所以∠AFP是二面角A-CD-P的平面角．再結(jié)合解三角形的一個知識求出答案即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A、D分別是RB、RC的中點(diǎn)，
∴AD∥BC，AD=

1

2

BC．
∴∠PAD=∠RAD=∠RBC=90°．
∴PA⊥AD．
∴PA⊥BC，
∵BC⊥AB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．
∵PB?平面PAB，
∴BC⊥PB．
（2）取RD的中點(diǎn)F，連接AF、PF．
∵RA=AD=1，
∴AF⊥RC．
∵AP⊥AR，AP⊥AD，
∴AP⊥平面RBC．
∵RC?平面RBC，
∴RC⊥AP
∵AF∩AP=A，
∴RC⊥平面PAF．
∵PF?平面PAF，
∴RC⊥PF．
∴∠AFP是二面角A-CD-P的平面角．
在Rt△RAD中，AF=

1

2

RD=

1

2

RA2+AD2

=

2

2

，
在Rt△PAF中，PF=

PA2+AF2

=

6

2

，cos∠AFP=

AF

PF

=

2 2

6 2

=

3

3

．
∴二面角A-CD-P的平面角的余弦值是

3

3

．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，熟練進(jìn)行線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化，主要考查學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力．