Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=3，AD=DC=2，AB=1，AD⊥DC，AB∥CD．
（1）設(shè)E為DC的中點(diǎn)，求證：D₁E∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁-BD-C₁的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用直四棱柱平行四邊形的性質(zhì)、線(xiàn)面平行的判定定理即可得出；
（2）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出二面角的平面角．

解答：（1）證明：如圖所示，連接BE．
∵E為DC的中點(diǎn)，∴DE=

1

2

DC=1．
∵AB=1，∴DE=AB．
又∵AB∥DE，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴BE

∥

.

AD．
由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，可得AD

∥

.

A1D1．
∴A1D1

∥

.

BE．
∴四邊形BED₁A₁是平行四邊形．
∴D₁E∥A₁B．
又D₁E?平面A₁BD，A₁B?平面A₁BD，
∴D₁E∥平面A₁BD；
（2）解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B（2，1，0），A₁（2，0，3），C₁（0，2，3）．
∴

DA1

=（2，0，3），

DB

=（2，1，0），

DC1

=（0，2，3）．
設(shè)平面A₁BD的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • DB =2x+y=0 n • DA1 =2x+3z=0

，令z=2，則x=-3，y=6．
∴

n

=（-3，6，2）．
設(shè)平面DBC₁的法向量為

m

，同理可得

m

=（3，-6，4）．
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n | | m |

=

-9-36+8

49 • 61

=-

37 61

427

．
∴二面角A₁-BD-C₁的余弦值為

37 61

427

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直四棱柱平行四邊形的性質(zhì)、線(xiàn)面平行的判定定理、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量的夾角得出二面角的平面角等是解題的關(guān)鍵．