橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，若|BF1|=2．
（1）求橢圓的方程．
（2）①直線y=kx+2交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求k的取值范圍．②當(dāng)k=1時(shí)，求
OA
•
OB
．
分析：（1）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)即可得出；
（2）把直線方程代入橢圓方程，利用判別式△＞0即可得到k的取值范圍，再利用根與系數(shù)的關(guān)系和數(shù)量積運(yùn)算即可得出數(shù)量積．
解答：解：（1）由c=
3
，a=2得b=
a2-c2
=1．
方程為
x2
4
+y2=1．
（2）①將y=kx+2代人得（4k2+1）x2+16kx+12=0
由△＞0，得256k2-48（4k2+1）＞0，解得k＜-
3
2
或k＞
3
2
．
（3）由（2）可得，當(dāng)k=1時(shí)，5x2+16x+12=0．
x1+x2=-
16
5
，x1x2=
12
5
．
OA
•
OB
=x1x2+y1y2
=x1x2+（x1+2）（x2+2）
=2x1x2+2（x1+x2）+4
=
24
5
-
32
5
+4
=
12
5
．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、判別式△＞0及與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算等是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過(guò)點(diǎn)A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，求證：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過(guò)點(diǎn)A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF1的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AF1T．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè) A（x1，y1）、B（x2，y2）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，證明點(diǎn)M在橢圓上；
（3）若點(diǎn)P、Q為橢圓 上的兩點(diǎn)，且
PQ
∥
OB
，試問(wèn)：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請(qǐng)加以證明；若不能平分，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：四川 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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