Question

設函數(shù)f(x)＝x³－6x＋5，x∈R.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若關于x的方程f(x)＝a有三個不同實根，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)已知當x∈(1，＋∞)時，f(x)≥k(x－1)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解 (1)f′(x)＝3x²－6，令f′(x)＝0，解得x₁＝－，x₂＝.

因為當x>或x<－時，f′(x)>0；當－<x<時，f′(x)<0.

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－)和(，＋∞)；單調(diào)減區(qū)間為(－，)．

當x＝－時，f(x)有極大值5＋4；

當x＝時，f(x)有極小值5－4.

(2)由(1)的分析知y＝f(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示，當5－4<a<5＋4時，直線y＝a與y＝f(x)的圖象有三個不同交點，即方程f(x)＝a有三個不同的解．

(3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x²＋x－5)≥k(x－1)．

因為x>1，所以k≤x²＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．

令g(x)＝x²＋x－5，此函數(shù)在(1，＋∞)上是增函數(shù)．

所以g(x)>g(1)＝－3.

所以k的取值范圍是k≤－3.